向量空间模型（VSM：Vector space model）

向量空间模型（VSM：Vector space model）是最常用的相似度计算模型，在自然语言处理中有着广泛的应用，这里简单介绍一下其在进行文档间相似度计算时的原理。

假设共有十个词：w₁，w₂，......，w₁₀，而共有三篇文章，d₁，d₂和d₃。统计所得的词频表（杜撰的，为了便于演示用法）如下：

	w1	w2	w3	w4	w5	w6	w7	w8	w9	w10
d1	1	2		5		7		9
d2		3		4		6	8
d3	10		11		12			13	14	15

常用的向量空间公式见下图：

 

假设计算d₁和d₂的相似度，那么a_i和b_i分别表示d₁和d₂中各个词的词频，我们以Cosine为例：

 

（得数请读者自己计算，各个数代表什么从上表中可以轻易看出）

为什么叫向量空间模型呢？其实我们可以把每个词给看成一个维度，而词的频率看成其值（有向），即向量，这样每篇文章的词及其频率就构成了一个i维空间图，两个文档的相似度就是两个空间图的接近度。假设文章只有两维的话，那么空间图就可以画在一个平面直角坐标系当中，读者可以假想两篇只有两个词的文章画图进行理解。

我们看到，上面公式的计算量是很大的，尤其当文档中词数量巨大时。那么怎么样来提高运算的效率呢？我们可以采取降维的方法。其实只要理解了向量空间模型原理，就不难理解降维的概念。所谓降维，就是降低维度。具体到文档相似度计算，就是减少词语的数量。常见的可用于降维的词以功能词和停用词为主（如："的"，"这"等），事实上，采取降维的策略在很多情况下不仅可以提高效率，还可以提高精度。这也不难理解，比如下面两句话（可能举地不是特别恰当，见谅）：

1. 这是我的饭。
2. 那是你的饭。

如果把"这"、"那"、"你"、"我"、"是"、"的"都当功能词处理掉，那么相似度就是100%。如果都不去掉，相似度可能只有60%。而这两句话的主题显示是一样的。

倒排词频平滑（Inverse Document Frequency）方法，就是用整个语料中所有词语的词频来调整某篇语料中词语的权重，可以理解为把某篇内词语的频率与全局词频相乘后再代入公式（因为相似度是个相对值，所以只要保证它的值落在0和1之间即可）。

 

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直接使用词的个数在比较词数很多和词数很少的文档时存在着问题。例如文档I中含有10000个词，而词a出现了10次；文档II中含有100个词，而a出现了5次。这样在相似度计算时，文档I中a对最后结果的影响比文档II中的a要大。这显然是不合理的，因为a只点文档I的0.1%而却占文档II的5%。为了解决这类问题，我们引入词频（TF）和反词频（IDF）两个概念。