利用推广的方法证明NP-完全性

8.10

对下面每个问题，请通过证明它是本章某个NP-完全问题的推广说明它是NP-完全的。

（a）子图同构：给定两个最为输入的无向图G和H，判断G是否为H的一个子图（即删除H中某些顶点或边后），所得到的新图

最多只需修改某些定点的名称，即与G相同），且结果是，返回有V(G)和V(H)的相关映射。

证明：令图G 为一个环，环上的顶点数等于图H 的顶点数。那么若G 是H 的同构子图，则说明H 存在Rudrata 回路。

         于是知Rudrata  回路事实上是子图同构问题的一个特例。

（b）最长路径：给定图G和整数g，求G中一条长为g的简单路径。

证明：如果令g = V −1，即得到一条 Rudrata 路径。

（c）最大SAT：给定一个CNF公式和整数g，求满足其中至少g个子句的真赋值。

证明：令 g 为子句的总数，即成SAT问题。

（d）稠密子图：给定一个图和两个整数a和b，求G中的a个顶点，使得它们之间最少有b条边。

证明：令b=a*（a-1）/2，此时这a 个顶点两两相连，于是即成最大团问题。

（e）稀疏子图：给定一个图和两个整数a和b，求G中的a个顶点，使得它们之间最多有b条边。

证明：令b = 0，即成最大独立集问题。

（f）集合覆盖

证明：集合覆盖是最小顶点覆盖的一个推广，转化为顶点覆盖问题。

（g）可靠网络：给定两个n*n矩阵，一个距离矩阵Dij,一个连接需求矩阵Rij以及预算b，我们要求一个图G=({1,2,3,......,n},E）

使得：（1）其中所有边的总代价不超过b （2）在任意两个不同的顶点i和j之间，存在Rij条顶点互不相交的路径。

证明：Hint 中所描述的特例即是一个TSP，转化为TSP问题。