Rodrigues（罗德里格斯）公式的理解与应用（旋转矢量与旋转矩阵的转化）

最新推荐文章于 2024-12-07 16:25:27 发布

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本文深入探讨Rodrigues公式，详细解析空间向量绕指定轴旋转的数学原理，介绍其向量与矩阵表述，并阐述如何通过该公式实现旋转矩阵与旋转向量的转换，为三维空间旋转提供理论依据。

第一部分： $R o d r i g u e s$ （罗德里格斯）公式描述的是：空间内的任意一个向量 $v\textbf{v}$ ，绕指定的旋转轴 $k\textbf{k}$ 旋转 $θ\theta$ 角度，得到空间向量 $vθ\textbf{v}^{\theta}$ 的过程。 $R o d r i g u e s$ 公式利用 $v\textbf{v}$ ， $k\textbf{k}$ 和 $θ\theta$ 来描述 $vθ\textbf{v}^{\theta}$ 。

在这里插入图片描述
如图所示，空间内的向量 $v\textbf{v}$ ，绕着 $z$ 轴旋转 $θ\theta$ ，得到 $vθ\textbf{v}^{\theta}$ 。已知 $x$ 轴， $y$ 轴和 $z$ 轴的方向向量分别是 $i\textbf{i}$ ， $j\textbf{j}$ 和 $k\textbf{k}$ 。约定 $<a,b><\textbf{a},\textbf{b}>$ 表示向量 $a\textbf{a}$ 到向量 $b\textbf{b}$ 的夹角。
对于空间向量 $v\textbf{v}$ 可以分解为三个坐标轴上的投影向量的矢量和： $v=vx+vy+vz\textbf{v} = \textbf{v}_x + \textbf{v}_y + \textbf{v}_z$
其中：
$vy=0\textbf{v}_y = \textbf{0}$
$vz=∣∣v∣∣⋅cos⁡<k,v>⋅k=∣∣v∣∣⋅∣∣k∣∣⋅cos⁡<k,v>⋅k=(k⋅v)⋅k\textbf{v}_z = ||\textbf{v}|| \cdot \cos{<\textbf{k}, \textbf{v}>} \cdot \textbf{k} = ||\textbf{v}|| \cdot ||\textbf{k}|| \cdot \cos<\textbf{k}, \textbf{v}> \cdot \textbf{k} = (\textbf{k} \cdot \textbf{v}) \cdot \textbf{k}$
$vx=∣∣v∣∣⋅sin⁡<k,v>⋅i\textbf{v}_x = ||\textbf{v}|| \cdot \sin<\textbf{k}, \textbf{v}> \cdot \textbf{i}$
对于 $vx\textbf{v}_x$ 来说，可以得到以下变换：
$∣∣v∣∣⋅sin⁡<k,v>=∣∣v∣∣⋅∣∣k∣∣⋅sin⁡<k,v>=∣∣k×v∣∣||\textbf{v}|| \cdot \sin<\textbf{k}, \textbf{v}> = ||\textbf{v}|| \cdot ||\textbf{k}|| \cdot \sin<\textbf{k}, \textbf{v}> = ||\textbf{k} \times \textbf{v}||$
$i=j×k\textbf{i} = \textbf{j} \times \textbf{k}$ ，又有 $j=k×v∣∣k×v∣∣\textbf{j} = \frac{\textbf{k} \times \textbf{v}}{||\textbf{k} \times \textbf{v}||}$

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5 条评论

彡霜啸彡 2024.09.12
感谢科普！！！

xiaoyouxiu 2023.03.26
为什么会有旋转矩阵和旋转向量这两个东西，我搞迷糊了，空间一个向量绕一个轴旋转，那个旋转角度是其实向量所在的面与终止向量所在面的夹角是吧

godlikethunder 2023.03.01
叉乘公式写错了

牛逼且谦虚 2021.12.28
对于vx来说，可以得到以下变换： ∣∣ v ∣∣ ⋅ sin < k , v > = ∣∣ v ∣∣ ⋅ ∣∣ k ∣∣ ⋅ sin ⁡< k , v >，，这里怎么凭空多出了∣∣ k ∣∣呀？？请博主赐教！
- 四片叶子的三叶草回复牛逼且谦虚 2021.12.30
  因为||k||=1啊，单位向量的模长，所以乘以1是恒等变形呀