第十周项目4 输出所有叶子节点

/*
*Copyright (c) 2015,烟台大学计算机学院
*All rights reserved.
*文件名称:叶子节点.cpp
*作者:孙钦达
*完成日期:2015年11月18日
*版本号:vc++6.0
*
*问题描述:二叉树解决问题
*输入描述:无
*程序输出:二叉树叶子节点
*/
#ifndef BTREE_H_INCLUDED
#define BTREE_H_INCLUDED

#define MaxSize 100
typedef char ElemType;
typedef struct node
{
    ElemType data;              //数据元素
    struct node *lchild;        //指向左孩子
    struct node *rchild;        //指向右孩子
} BTNode;
void CreateBTNode(BTNode *&b,char *str);        //由str串创建二叉链
BTNode *FindNode(BTNode *b,ElemType x);     //返回data域为x的节点指针
BTNode *LchildNode(BTNode *p);  //返回*p节点的左孩子节点指针
BTNode *RchildNode(BTNode *p);  //返回*p节点的右孩子节点指针
int BTNodeDepth(BTNode *b); //求二叉树b的深度
void DispBTNode(BTNode *b); //以括号表示法输出二叉树
void DestroyBTNode(BTNode *&b);  //销毁二叉树
int Nodes(BTNode *b);
void DispLeaf(BTNode *b);
#endif // BTREE_H_INCLUDED

#include <stdio.h>
#include "head.h"

int main()
{
    BTNode *b;
    CreateBTNode(b,"A(B(D,E(H(J,K(L,M(,N))))),C(F,G(,I)))");
    printf("二叉树中所有的叶子节点是: ");
    DispLeaf(b);
    printf("\n");
    DestroyBTNode(b);
    return 0;
}

#include <stdio.h>
#include <malloc.h>
#include "head.h"

void CreateBTNode(BTNode *&b,char *str)     //由str串创建二叉链
{
    BTNode *St[MaxSize],*p=NULL;
    int top=-1,k,j=0;
    char ch;
    b=NULL;             //建立的二叉树初始时为空
    ch=str[j];
    while (ch!='\0')    //str未扫描完时循环
    {
        switch(ch)
        {
        case '(':
            top++;
            St[top]=p;
            k=1;
            break;      //为左节点
        case ')':
            top--;
            break;
        case ',':
            k=2;
            break;                          //为右节点
        default:
            p=(BTNode *)malloc(sizeof(BTNode));
            p->data=ch;
            p->lchild=p->rchild=NULL;
            if (b==NULL)                    //p指向二叉树的根节点
                b=p;
            else                            //已建立二叉树根节点
            {
                switch(k)
                {
                case 1:
                    St[top]->lchild=p;
                    break;
                case 2:
                    St[top]->rchild=p;
                    break;
                }
            }
        }
        j++;
        ch=str[j];
    }
}
BTNode *FindNode(BTNode *b,ElemType x)  //返回data域为x的节点指针
{
    BTNode *p;
    if (b==NULL)
        return NULL;
    else if (b->data==x)
        return b;
    else
    {
        p=FindNode(b->lchild,x);
        if (p!=NULL)
            return p;
        else
            return FindNode(b->rchild,x);
    }
}
BTNode *LchildNode(BTNode *p)   //返回*p节点的左孩子节点指针
{
    return p->lchild;
}
BTNode *RchildNode(BTNode *p)   //返回*p节点的右孩子节点指针
{
    return p->rchild;
}
int BTNodeDepth(BTNode *b)  //求二叉树b的深度
{
    int lchilddep,rchilddep;
    if (b==NULL)
        return(0);                          //空树的高度为0
    else
    {
        lchilddep=BTNodeDepth(b->lchild);   //求左子树的高度为lchilddep
        rchilddep=BTNodeDepth(b->rchild);   //求右子树的高度为rchilddep
        return (lchilddep>rchilddep)? (lchilddep+1):(rchilddep+1);
    }
}
void DispBTNode(BTNode *b)  //以括号表示法输出二叉树
{
    if (b!=NULL)
    {
        printf("%c",b->data);
        if (b->lchild!=NULL || b->rchild!=NULL)
        {
            printf("(");
            DispBTNode(b->lchild);
            if (b->rchild!=NULL) printf(",");
            DispBTNode(b->rchild);
            printf(")");
        }
    }
}
void DestroyBTNode(BTNode *&b)   //销毁二叉树
{
    if (b!=NULL)
    {
        DestroyBTNode(b->lchild);
        DestroyBTNode(b->rchild);
        free(b);
    }
}
int Nodes(BTNode *b)
{
    if (b==NULL)
        return 0;
    else
        return Nodes(b->lchild)+Nodes(b->rchild)+1;
}
void DispLeaf(BTNode *b)
{
    if (b!=NULL)
    {
        if (b->lchild==NULL && b->rchild==NULL)
            printf("%c ",b->data);
        else
        {
            DispLeaf(b->lchild);
            DispLeaf(b->rchild);
        }
    }
}


运行结果:

 

 

知识点总结:

先遍历左子树,判断当前节点的左孩子和右孩子节点是否存在,若不存在就输出此节点,即叶子节点;右子树也如此。


<think>首先,用户的问题是关于二叉树的高度和叶子节点数量的。问题描述是:“我想计算高度为10的二叉树最多具有的叶子结点数量请问高度为10的二叉树最多有多少个叶子结点”。从引用中,我可以获取相关信息:-引用[2]讨论了二叉树中最大化叶子节点数量的方法。它提到,为了最大化叶子节点,应该尽量让每个非叶子节点只有两个子节点,这对应于完全二叉树或满二叉树。-具体来说,它说根节点高度为1,高度为n的满二叉树的节点总数是\(2^n-1\)。-对于一个节点数在某个高度的例子:当节点数为2015时,高度在10和11之间,因为\(2^{10}-1=1023\),\(2^{11}-1=2047\)。-在完全二叉树中,叶子节点主要来自最后一层,但倒数第二层也可能有一些。-在例子中,计算了2015个节点的二叉树:最后一层有992个节点(2015-1023),其中1023是高度为10的满二叉树的节点数。然后,倒数第二层有32个节点没有子节点,所以叶子节点总数为992+16(不是32直接,而是通过计算得到的16)。引用[2]的具体计算:2015-1023=992个(最后一层节点),2047-2015=32(表示缺失的节点),32/2=16(因为每个缺失的子节点对应于一个在倒数第二层的叶子节点?这里逻辑有点混乱,我需要仔细理解)。在引用[2]中:对于一个高度为10的满二叉树,节点数1023;高度11的为2047。节点2015在之间,所以是完全二叉树。最后一层(第11层)有992个节点(2015-1023=992)。倒数第二层(第10层)应该有节点数,但有些节点可能只有一个子节点或没有子节点。它计算了2047-2015=32,表示如果达到2047节点时,还需要32个节点才完整,所以倒数第二层有32个节点的位置没有填满,意味着有32个节点的子节点没有全部存在。但叶子节点:最后一层全部是叶子节点(992个),倒数第二层中,那些没有子节点的节点也是叶子节点。它说倒数第二层总节点数是512(因为高度10的满二叉树有512个节点在最后一层?不,高度10的树,最后一层是第10层,节点数为\(2^{9}=512\),因为根是第1层,高度h时,最大节点数在最后一层是\(2^{h-1}\))。在计算中:2047-2015=32,表示总缺失节点是32个。这些缺失的节点对应于倒数第二层的32个位置,这些位置本应有两个子节点,但实际只有部分有子节点。具体地,它除以2得到16,意思是倒数第二层有16个节点是完全缺失的,即没有子节点,所以这些16个节点是叶子节点。因此叶子节点:最后一层992个全是叶子,倒数第二层有16个是叶子,总1008个。现在,用户的问题是针对高度为10的二叉树,最多有多少个叶子节点。高度为10意味着树的高度是10。在树术语中,高度通常是从根到最深叶子的边数或节点数。引用中定义根高度为1,所以高度10有11层(从第1层到第11层)?不,标准定义有时不一致,但从引用看:-引用[2]说根高度为1,高度n的满二叉树节点数\(2^n-1\),这对应于高度h有h层。例如高度3:层1(1节点)、层2(2节点)、层3(4节点),总7=8-1=2^3-1节点。所以高度h时,有h层。所以高度为10的二叉树,有10层。最大化叶子节点,我们需要一个完全二叉树,特别是满二叉树如果可能,或者尽可能满的完全二叉树。对于一个高度h的二叉树,最多叶子节点的情况是当树是满二叉树时。在满二叉树中,所有节点除了叶子节点都有两个子节点。叶子节点全部在最底层。所以高度h的满二叉树:-总节点数:\(2^h-1\)-第k层的节点数:\(2^{k-1}\)-叶子节点在最后一层,所以对于高度h,最后一层是第h层,有\(2^{h-1}\)个节点。所有最底层节点都是叶子节点。因此,高度为10的满二叉树:-总节点数:\(2^{10}-1=1024-1=1023\)-叶子节点数:在最后一层(第10层),有\(2^{9}=512\)个节点,全部是叶子。所以最多叶子节点数是512。但用户问“最多有多少个叶子结点”,在满二叉树时确实512。但引用中提到,对于不完全满的树,可能会有更多叶子节点?不,在满二叉树时叶子节点是最大化的,因为如果树不满,节点数少,叶子节点数可能减少。或者如果有空位,可以安排使更多节点成为叶子?最大化叶子节点通常是通过最大化树的大小或安排在相同高度下使更多节点在叶子层。但在固定高度下,最多叶子节点是当树完全满时,因为如果树不满,它可能更少节点,因此更少叶子;或者如果树有更高的高度,但用户指定了高度为10,所以树的高度是固定的。用户说“高度为10”,意思是树的高度为10,不包括更深的树。在固定高度下,一个完全满的二叉树拥有最多的节点,因此最多的叶子节点。所以对于高度10,最大叶子节点数为512。但看引用[3]和[5],它们讨论了有给定叶子数的完全二叉树的最大节点数。例如,引用[3]:有124叶子节点的完全二叉树,最多有多少个节点。但用户的问题是反向:固定高度,求最大叶子节点。在固定高度下,最大叶子节点是当树满时。引用[4]中提到对于二叉树,有公式:叶节点数=度为2的节点数+1。但它用于固定总节点数。这里固定高度。或许用户认为在高度10下,不一定是满树,而是最大化叶子节点的树。但在任何高度10的树中,最大叶子节点树是满树,因为有512个叶子。如果一个树高度10但不是满的,叶子节点可能更少,例如如果有节点在内部层只有一个子节点。例如,高度10的树,但只有根和两个子树,但高度定义为最长路径长度。例如,一个倾斜的树:高度10但只有11个节点(每个节点只有一个子节点),叶子节点只有一个。这比512少多了。因此,最大化叶子节点:在高度固定的情况下,必须最大化树大小在最大高度,因此是满二叉树。所以对于高度10,最大叶子节点是512。但检查引用[2]中关于2015个节点的计算,它有1008个叶子,总节点2015在高度11(因为1023是高度10满,2047高度11满)。在高度10的情况下:设高度10:最大节点1023,全部在高度10。叶子节点512。但或许用户误解了高度定义。另一个想法:在二叉树中,高度h通常允许少于2^h节点。但最大叶子在固定高度就是当树满时。引用中,引用[1]提到“最多有n-1个叶节点”对于树有n节点,但那是对于树非二叉树,且没有指定高度。用户问题是针对二叉树有给定高度。所以我认为512是答案。但用户说“参考站内引用”,所以从引用[2],它计算了2015个节点时高度在10和11之间,但叶子1008,大于高度11满时的1024?2047节点的满高11树有1024叶子(因为最后一层1024节点)。高度11:最后一层第11层,有2^{10}=1024节点,全叶子。对于2015节点,缺了32节点,所以叶子少些:992+16=1008<1024。是的。对于高度10固定:满树1023节点,512叶子。如果树不是满的但高度是10,例如总节点数少于1023,但高度10,那么叶子节点不会超过512,因为更少的节点。除非树有相同的节点但分布在不同的层,但在高度10下,节点只能在1到10层,最大节点1023,在满时叶子512。因此,最多叶子是512。但用户的问题:高度为10的二叉树最多有多少个叶子节点?所以应该是512。或许高度定义不同。在一些定义中,高度是从根到叶子的边数,所以高度h有h+1层?但在引用中,明确说根高度1,高度n节点2^n-1,所以高度h有h层。例如,高度1:只有根,1节点,是叶子。高度2:根和两个子,3节点,2叶子(如果子存在)。在高度2满二叉树:根有两个子,总3节点,2叶子。最后一层2节点,是叶子。对于高度10:最后层2^9=512节点,叶子。所以我认为512是正确。现在用户引用了一些内容,可能想更一般化或确认。引用[4]是2019个节点的二叉树最多叶子节点数,他们使用公式计算为1010个。但这里固定高度,而非节点数。所以对于固定高度,就是上述内容。因此,对于高度为10的二叉树,最多叶子节点是512。但我应使用LaTeX格式。在回答中:首先,高度为10的二叉树,表示从根到最深叶子的最长路径有10条边?还是10个节点?从引用来看,是使用节点数定义的。在引用[2]中:“根节点高度为1,则高度为n的满二叉树所有节点树为2^n-1”,所以高度n表示树的高度为n,意味着有n层。根在第1层,所以最后一层是第n层。节点数:在高度n时,是2^n-1。叶子节点在最后一层:2^{n-1}。对于n=10,叶子节点:2^{9}=512。所以回答应该是最多512个叶子节点。用户提到“我想计算”,可能需要过程。在响应中,需要结构清晰,使用中文。系统指令要求:回答中使用中文,数学表达式用$...$或$$...$$。所以在响应中:解释二叉树的性质,固定高度时最大叶子节点在满二叉树情况下。然后给出计算。相关问题:像示例一样,在最后生成相关问题。最后,引用标记:但用户提供了引用,所以我可以引用[^2]。用户说“参考站内引用”,所以使用这些引用。在回答中引用相关部分。所以开始写响应。</think> ### 高度为10的二叉树最多有多少个叶子结点 为了解决用户的问题,我们需要分析高度为10的二叉树中叶子结点数量的最大值。叶子结点(叶节点)是没有子节点的结点。在二叉树中,最大化叶子结点数量通常发生在树尽可能"满"的情况下,即完全二叉树或满二叉树。以下是逐步分析和计算,基于您提供的引用(特别是引用[2])和二叉树的性质。 #### 分析过程: 1. **二叉树高度定义**: - 在二叉树中,高度通常定义为根节点的高度为1(参考引用[2])。 - 高度为 $h$ 的二叉树,最多有 $h$ 层(从第1层到第$h$层)。 - 高度固定为 $h$ 时,最大叶子结点数出现在满二叉树(所有非叶子结点都有两个子节点,且所有叶子结点都在最后一层)的情况下。 2. **满二叉树的性质**: - 对于高度为 $h$ 的满二叉树: - 总节点数:$N = 2^h - 1$(参考引用[2]的公式)。 - 第 $k$ 层的节点数:$2^{k-1}$。 - 叶子结点位于最后一层(第 $h$ 层),数量为:$2^{h-1}$(因为所有节点都在最底层,且没有更深的层)。 - 为什么满二叉树能最大化叶子结点? - 当二叉树高度固定时,任何非满结构(如某些内部节点只有一个子节点或缺失子节点)都会减少总节点数或使部分节点提前成为叶子结点,但不会增加最后一层的叶子数量(参考引用[2],它强调为最大化叶子结点,应让每个非叶子节点有两个子节点)。 3. **计算高度为10的情况**: - 设 $h = 10$。 - 最大叶子结点数在满二叉树中: - 最后一层(第10层)的节点数为:$2^{10-1} = 2^9 = 512$。 - 所有这些节点都是叶子结点(因为它们没有子节点)。 - 因此,叶子结点最大数量为 **512**。 - 总节点数验证:$2^{10} - 1 = 1024 - 1 = 1023$,其中叶子结点占一半以上(512),符合满二叉树特性(参考引用[2])。 4. **与其他情况的对比**: - 如果二叉树高度为10但不是满的,叶子结点数量会减少。例如: - 偏斜树(如所有节点只有一个子节点):高度10但只有11个节点,叶子结点仅1个。 - 部分填充的树:如总节点数小于1023,则最后一层节点数不足512,且倒数第二层的非叶子节点可能更少(参考引用[2],它提到在节点数不足完全二叉树时,叶子结点需详细计算)。 - 固定高度时,满二叉树是叶子结点最多的特例。引用[4]讨论了固定节点数时的最大叶子数(如2019个节点时最大1010个叶子),但这里是固定高度,结论不同。 #### 结论: 对于高度为10的二叉树,最多有 **512** 个叶子结点。这发生在树为满二叉树时,最后一层正好有512个叶子节点。 在程序实现中,如果您需要输出结果(如引用[4]的格式),可以用以下代码: ```c #include <stdio.h> int main() { int max_leaves = 512; // 基于计算 printf("%d", max_leaves); return 0; } ``` [^2]: 最大化叶子结点通常需要构建完全二叉树或满二叉树,其中高度固定时叶子结点位于最后一层;计算基于节点层公式 $2^{h-1}$。
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