java浮点数精度问题

浮点数存储

在Java中，浮点数遵循IEEE 754标准，该标准规定了浮点数的表示方式。实际上，几乎所有语言都依据这个标准。

定点数和浮点数区别

比如用8位二进制位表示一个小数，先不考虑负数，如果用定点数表示，可以用前4位表示整数，后四位表示小数，小数点就固定了，数值始终是 整数部分.小数部分。如果用浮点数表示，用前4位表示指数(e)，后4位表示尾数(M)，数值就是$M\times 2^e$, 因为指数不同，代表尾数小数点要移动相应的位，所以叫浮点数。定点数一般很少用到，除非是一些特别的场景，比如实时系统中。

单精度（float) 存储:

占32位， 1位符号位(Sign)，8位指数(Exponent)， 23位尾数(Mantissa)

小数存储的时候先要规格化（normalize）
比如0.0175 规格化为 $1.75\times 10^{-2}$, 符号位存0(代表正数), 指数部分就存 -2，规定指数部分有一个偏移127，实际存的指数是125，解析的时候指数为$125-127=-2$， 尾数部分就存1.75，实际这些都是存储是二进制，尾数的二进制是1.11, 小数点前的1存储的时候不存储，解析的时候会加上，因为规格化后小数点前有且仅有一个1， 所以规定不存储，解析成浮点数的时候再把这个1加在小数点左边， 所以尾数就存11000…0 (23位）。
所以float从存储解析可以表示为
$$(-1{)}^{符号位}\times 1.尾数\times 2^{指数-127}$$

双精度（double) 存储：

占64位， 1位符号位(Sign)，11位指数(Exponent)， 52位尾数(Mantissa)

浮点数精度问题原因

从上面的存储格式就知道，尾数部分的位数是有限制的，比如float的尾数是23位，也就是说有效数字只能是23位能表示的精度，23位二进制(加上存储时默认小数点