【bzoj3209】【花神的数论题】【数位dp+快速幂】

本文深入探讨了一道由花神提出的数学难题,涉及二进制位计数与乘积计算。通过定义关键概念、引入数位DP与快速幂算法,详细阐述了解题过程及思路,旨在帮助读者理解并解决类似复杂数学问题。

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Description

背景
众所周知,花神多年来凭借无边的神力狂虐各大 OJ、OI、CF、TC …… 当然也包括 CH 啦。
描述
话说花神这天又来讲课了。课后照例有超级难的神题啦…… 我等蒟蒻又遭殃了。
花神的题目是这样的
设 sum(i) 表示 i 的二进制表示中 1 的个数。给出一个正整数 N ,花神要问你
派(Sum(i)),也就是 sum(1)—sum(N) 的乘积。

Input

一个正整数 N。

Output

一个数,答案模 10000007 的值。

Sample Input

样例输入一

3

Sample Output

样例输出一

2

HINT



对于样例一,1*1*2=2;


数据范围与约定


对于 100% 的数据,N≤10^15

题解:另f[i][j]表示以0开头的i位数中1的个数为j的数的数量。

              g[i][j]表示以1开头的i位数中1的个数为j的数的数量。

           显然 f[i][j]=f[i-1][j]+g[i-1][j];

                   g[i][j]=f[i-1][j-1]+g[i-1][j-1];

           然后数位dp+快速幂即可。

代码:

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#define P 10000007
#define ll long long
ll f[100][100],g[100][100],n;
using namespace std;
ll power(ll a,ll b){
  ll ans(1);
  for (ll i=b;i;i>>=1,(a*=a)%=P) if (i&1) (ans*=a)%=P;
  return ans;   
}
ll cal(ll x){
  ll t(0),c(0),ans(1);
  for (t=0;1ll<<t<=x;t++);
  for (;t;t--){
    if ((1ll<<t-1)&x){
      for (int i=1;i<=t;i++)
        (ans*=power(i+c,f[t][i]))%=P;
      if (c)(ans*=c)%=P;c++;
    }   
  }
  return (ans*c)%P;
}
int main(){
  scanf("%lld",&n);
  f[1][0]=1;g[1][1]=1;
  for (int i=2;i<=60;i++)
    for (int j=0;j<=i;j++){
     f[i][j]=(f[i-1][j]+g[i-1][j]);
     if (j!=0)g[i][j]=(f[i-1][j-1]+g[i-1][j-1]);
    }
  printf("%lld",cal(n));
}


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