【bzoj2693】【jzptable】【莫比乌斯反演】

最新推荐文章于 2018-11-28 22:34:37 发布

sunshinezff

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分类专栏：数论

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本文探讨了如何求解特定形式的数论求和问题，给出了一种转换思路，并通过编程实现了高效的求解方法。文章详细介绍了从原始问题到转换后的表达式的推导过程，并给出了C++代码实现。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Description
求 $\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}lcm(i,j)$
Input
一个正整数T表示数据组数
接下来T行每行两个正整数表示N、M
Output
T行每行一个整数表示第i组数据的结果
Sample Input
1
4 5
Sample Output
122
HINT
T <= 10000
N, M<=10000000
题解：
普通的化法可以变成

\sum d = 1 n d \sum x = 1 ⌊ n d ⌋ x 2 μ ( x ) s u m ( ⌊ n d x ⌋ , ⌊ m d ⌋ ) 4

$\sum_{d=1}^{n}d\sum_{x=1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}\frac{x^2\mu(x)sum(\lfloor\frac{n}{dx}\rfloor,\lfloor\frac{m}{d}\rfloor)}{4}$
sum(x,y)=x(x+1)y(y+1)
设T=dx;
则可以化成

\sum T = 1 n s u m 2 (⌊ n T ⌋ ⌊ m T ⌋) T \sum x | T μ (x) x

$\sum_{T=1}^{n}sum2(\lfloor\frac{n}{T}\rfloor\lfloor\frac{m}{T}\rfloor)T\sum_{x|T}^{}\mu(x)x$
sum2(x,y)=x(x+1)y(y+1)/4
设f(T)=

∑x|Tμ(x)x $\sum_{x|T}^{}\mu(x)x$
如果我们能与处理出f数组,然后做一个Tf(T)的前缀和即可。
可以证明f(T)是积性函数.然后我们把f(T)线筛出来即可。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#define N 10000010
#define P 100000009
#define LL long long
using namespace std;
int p[N],f[N],n,m,T,pos;
LL g[N],ans,s[N];
void pre(){
  g[1]=1;
  for (int i=2;i<=n;i++){
    if (!f[i]){p[++p[0]]=i;g[i]=(1-i+P)%P;}
    for (int j=1;j<=p[0]&&i*p[j]<=n;j++){
      f[i*p[j]]=1;
      if (i%p[j]==0){g[i*p[j]]=g[i];break;}
      g[i*p[j]]=(g[i]*g[p[j]])%P;
    }
  }
  for (int i=1;i<=n;i++) g[i]=(g[i]*i)%P;
  for (int i=1;i<=n;i++) s[i]=(s[i-1]+g[i])%P;
}
LL sum(LL x,LL y){
  LL t1=x*(x+1)/2;LL t2=y*(y+1)/2;
  t1%=P;t2%=P;
  return (t1*t2)%P; 
}
int main(){
     scanf("%d",&T);n=N-10;pre();
     while (T--){
     scanf("%d%d",&n,&m);
     if (n>m) swap(n,m);ans=0;pos=0;
     for (int i=1;i<=n;i=pos+1){
       pos=min((n/(n/i)),(m/(m/i)));
       ans+=(sum((LL)(n/i),(LL)(m/i))*(s[pos]-s[i-1]+P)%P)%P;
       ans%=P;
     }  
     printf("%lld\n",ans);  
   }
}