【BZOJ1087】【SCOI2005】【互不侵犯king】【状压dp】

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本文介绍了如何使用状压DP解决在N×N的棋盘上放置K个国王，使得它们互不攻击的问题，并详细解释了状态转移方程和求解过程。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Description

在N×N的棋盘里面放K个国王，使他们互不攻击，共有多少种摆放方案。国王能攻击到它上下左右，以及左上左下右上右下八个方向上附近的各一个格子，共8个格子。

Input

只有一行，包含两个数N，K （ 1 <=N <=9, 0 <= K <= N * N）

Output

方案数。

Sample Input

3 2

Sample Output

题解：状压dp经典题。

f[i][j][k]保存第i行（包括第i行）之前放了j个国王，当前行用二进制表示后对应十进制数为k的方案数。count[k]表示k所对应的二进制中1的个数。

状态转移方程比较显然：f[i][j][k]=sum{f[i-1][j-count[k]][p]}；

其中k满足 (k&(k<<1))==0

其中p满足 (p&(p<<1))==0&&((p<<1)&k)==0&&(p&k)==0&&((p>>1)&k)==0

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
using namespace std;
long long f[15][150][2000];
int n,kk,tot[2000],x;
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&kk);
    x=pow(2,n)-1;  
    for (int i=0;i<=x;++i)  
      {  
        int j=i;  
        while(j>0)   
         {  
           j&=(j-1);  
           tot[i]++;  
         }  
      }
    for (int i=0;i<=x;i++) if ((i&(i<<1))==0) f[1][tot[i]][i]=1;
    for (int i=2;i<=n;i++)
     for (int j=0;j<=kk;j++)
      for (int k=0;k<=x;k++)
        if (((k&(k<<1))==0)&&(j>=tot[k]))
          {
             for (int s=0;s<=x;s++)
               if (((k&s)==0)&&((s&(s<<1))==0)&&((k&(s>>1))==0)&&((k&(s<<1))==0))
                  f[i][j][k]+=f[i-1][j-tot[k]][s];
          }
    long long ans(0);
    for (int i=0;i<=x;i++)
       ans+=f[n][kk][i];
     cout<<ans;    
}