数列

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题目描述 Description
a[1]=a[2]=a[3]=1

a[x]=a[x-3]+a[x-1] (x>3)

求a数列的第n项对1000000007（10^9+7）取余的值。

输入描述 Input Description
第一行一个整数T，表示询问个数。

以下T行，每行一个正整数n。

输出描述 Output Description
每行输出一个非负整数表示答案

样例输入 Sample Input
3

10
样例输出 Sample Output
4

数据范围及提示 Data Size & Hint
对于30%的数据 n<=100；

对于60%的数据 n<=2*10^7；

对于100%的数据 T<=100，n<=2*10^9；
题解：
一个比较裸的矩阵乘
构造如下矩阵
$\left[\begin{array}{cc}1&0&1\\1&0&0\\0&1&0\end{array}\right]$ $\times \left[\begin{array}{cc}x[n-1]\\x[n-2]\\x[n-3]\end{array}\right]$ = $\left[\begin{array}{cc}x[n]\\x[n-1]\\x[n-2]\end{array}\right]$
然后计算第一个矩阵的n-3次方再乘上
$\left[\begin{array}{cc}x[3]\\x[2]\\x[1]\end{array}\right]$ 即可
代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#define m 1000000007
using namespace std;
long long ans[10][10],n,aa[10][10],sum,t;
bool f;
inline long long cheng(long long a,long long b)
{
    long long ans(0);
    a=a%m;
    while (b>0)
     {
        if (b%2==1)
          ans=(ans+a)%m;
        b/=2;
        a=(a*2)%m;
     }
     return ans;
}
inline void power(long long x)
{
    long long k[5][5];
    while (x>0)
     {
        if (x%2==1)
          {
             if (f==false)
               {
                 for (int i=1;i<=3;i++)
                   for (int j=1;j<=3;j++)
                     ans[i][j]=aa[i][j];
                 f=true;               
               }
            else
            {
             for (int i=1;i<=3;i++)
               for (int j=1;j<=3;j++)
               {
                k[i][j]=0;
                 for (int p=1;p<=3;p++)
                     k[i][j]=(k[i][j]+cheng(ans[i][p],aa[p][j]))%m;
               }
             for (int i=1;i<=3;i++)
               for (int j=1;j<=3;j++)
                 ans[i][j]=k[i][j];
            }
          }
         x/=2;
         for (int i=1;i<=3;i++)
           for (int j=1;j<=3;j++)
             {
              k[i][j]=0;
              for (int p=1;p<=3;p++)
                k[i][j]=(k[i][j]+cheng(aa[i][p],aa[p][j]))%m;
             }
          for (int i=1;i<=3;i++)
          for (int j=1;j<=3;j++)
            aa[i][j]=k[i][j];
     }
} 
int main()
{
    cin>>t;
    while (t--)
    {

     cin>>n;

     if (n==1||n==2||n==3) 
        cout<<1<<endl;
     else
     {
      f=false;
      aa[1][1]=1;aa[1][2]=0;aa[1][3]=1;
      aa[2][1]=1;aa[2][2]=0;aa[2][3]=0;
      aa[3][1]=0;aa[3][2]=1;aa[3][3]=0;
      power(n-3);
      sum=(cheng(ans[1][1],1)+cheng(ans[1][2],1)+cheng(ans[1][3],1))%m;
      printf("%lld\n",sum);
     }
   }
}