N的阶乘N!中的末尾有多少个0?

最新推荐文章于 2022-05-18 20:24:52 发布

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本文介绍了一种高效算法来确定N的阶乘N!末尾0的数量。通过分析10的构成，推导出只需关注阶乘中5的因子数量。提供了两种计算方法并附带代码实现。

N的阶乘N!中的末尾有多少个0?

问题：N的阶乘N!中的末尾有多少个0? 例如:N = 5,N! = 120.末尾有1个0.

分析: 想到这个问题，有人可能第一反应就是先求出N!,然后再根据求出的结果，最后得出N!的末尾有多少个0。但是转念一想，会不会溢出，等等。

其实，从"哪些数相乘可以得到10"这个角度，问题就变得比较的简单了。

（1）首先考虑，如果N的阶乘为K和10的M次方的乘积，那么N!末尾就有M的0。
（2）如果将N的阶乘分解后，那么N的阶乘可以分解为：2的X次方，3的Y次方，4的0次方(2的X次方已计算)，5的Z次方.....的乘积。
     由于10 = 2 * 5,所以M只能和X和Z有关，每一对2和5相乘就可以得到一个10。
     于是M = MIN(X, Z),不难看出X大于Z，因为被2整除的频率比被5整除的频率高的多。所以可以把公式简化为M = Z。

由上面的分析可以看出，只要计算出Z的值，就可以得到N!末尾0的个数

方法一：要计算Z，最直接的方法就是求出N的阶乘的所有因式(1,2,3,...,N)分解中5的指数，然后求和。

int zero(int n)
{
    int num = 0;
    
    for (int i = 5; i <= n; i += 5)
    {
        int j = i;
        while (j % 5 == 0)
        {
            num++;
            j /= 5;
        }
    }
    
    return num;
}

方法二：

Z = N / 5 + N / (5 * 5) + N / (5 * 5 * 5).....直到N / (5的K次方)等于0

公式中N / 5表示不大于N的数中能被5整除的数贡献一个5，N / (5 * 5)表示不大于N的数中能被25整除的数贡献一个5.......

int zero(int n)
{
    int num = 0;
    
    while(n)
    {
        num += n / 5;
        n /= 5;
    }
    
    return num;
}

练习题：hdu1124 Factorial

原文链接：http://blog.chinaunix.net/uid-20766194-id-1850404.html