求连续子数组和的最大值的变种问题

最新推荐文章于 2022-11-18 16:09:52 发布

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分类专栏：算法文章标签：算法连续子数组和绝对值的最小值环形数组

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/sunset108/article/details/40985129

本文介绍了连续子数组和最大值及绝对值最小值问题的动态规划解法，包括环形数组的特殊情况。对于求绝对值最小值的变种问题，通过前缀和与排序实现O(nlog(n))的解决方案；而对于环形数组，通过求解最大值和最小值再求解最大和，保持O(n)的时间复杂度。

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求连续子数组和的最大值，是一个很经典的问题，网上有很多文章来介绍这个问题，我们先简要介绍一下这个问题的动态规划解法。

对于一个输入数组a[n]，我们用res表示该数组连续子数组和的最大值，用sum[i]表示前i个元素中，包含第i个元素且和最大的连续子数组的和，这样我们可以从头到尾遍历数组，执行以下公式：

sum[i + 1] = max (a[i + 1], sum[i])

res= max (res, sum[i + 1])

对于sum数组，我们在一个时刻只会使用一个值，可以简化为一个数，具体代码如下所示：

int solve(int[] a) {
    if (a == null || a.length == 0) {
        return -1;
    }
    int sum = a[0], res = a[0];
    for (int i = 1; i < a.length; i++) {
        if (sum < 0) {
            sum = 0;
        }
        sum += a[i];
        res = Math.max(sum, res);
    }
    return res;
}

但是，这个问题并不是本文所讨论的重点，我们要讨论的是该问题的两个变种问题。

变种一：求连续子数组和的绝对值的最小值

这个问题乍看一下，不是也能用动态规划的思想来解决吗？解法如下：

用res表示该数组连续子数组和的绝对值的最小值，用sum[i]表示前i个元素中，包含第i个元素且和的绝对值最小的连续子数组的和，这样依然可以从头到尾遍历数组，执行以下公式：

sum[i + 1] = sum[i] * a[i + 1] >= 0 ? a[i + 1] : sum[i] + a[i + 1]

res = min