求点被多少个矩形覆盖

本文探讨了如何通过线段树优化技术解决矩形覆盖问题,并应用此方法解决二维棋盘涂色问题。通过构建二维线段树模型,实现了对矩形覆盖情况的有效分析和棋盘涂色状态的快速更新。

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有很多矩形,矩形可能会重叠,又有很多点分散在平面上,求每一个点被多少个矩形覆盖?

方法1:

参考:http://dongxicheng.org/structure/segment-tree/

总体思想是,如果线段树种的一个节点,就是这整个区间都在要插入的边内,则这个节点的计数加1

给一个n*n的方格棋盘,初始时每个格子都是白色。现在要刷M次黑色或白色的油漆。每次刷漆的区域都是一个平行棋盘边缘的矩形区域。

输入n,M,以及每次刷漆的区域和颜色,输出刷了M次之后棋盘上还有多少个棋格是白色。

[问题分析]

首先我们从简单入手,考虑一维的问题。即对于一个长度为n的白色线段,对它进行M次修改(每次更新某一子区域的颜色)。问最后还剩下的白色区域有多长。

对于这个问题,很容易想到建立一棵线段树的模型。复杂度为O(Mlgn)。

扩展到二维,需要把线段树进行调整,即首先在横坐标上建立线段树,它的每个节点是一棵建立在纵坐标上的线段树(即树中有树。称为二维线段树)。复杂度为O(M(logn)^2)。


方法2:

对矩形排序,如果左边界相同,按照右边界排序。

给点一个点(x,y)

二分查找左边界小于x的,然后就可以删除右边的矩形,对y也同理

### 计算最小外接矩形 为了找到能够包含两个给定矩形的最小外接矩形,可以采用几何方法来确定新矩形的位置和尺寸。具体来说,通过比较两个矩形的边界坐标,可以获得包围这两个矩形所需的最小面积。 对于任意两个矩形 A 和 B,假设它们各自的左下角顶分别为 (xAmin, yAmin),右上角顶为 (xAmax, yAmax);B 的对应顶分别是 (xBmin, yBmin), (xBmax, yBmax)[^1]。那么,覆盖这两者的最小矩形 C 将具有如下属性: - 左边界的 x 坐标等于 min(xAmin, xBmin) - 右边界的 x 坐标等于 max(xAmax, xBmax) - 下边界的 y 坐标等于 min(yAmin, yBmin) - 上边界的 y 坐标等于 max(yAmax, yBmax) 基于上述逻辑,在 C# 中实现该功能可以通过定义一个函数 `GetEnclosingRectangle` 来完成此操作[^4]。 ```csharp public class Rectangle { public int XMin { get; set; } public int YMin { get; set; } public int XMax { get; set; } public int YMax { get; set; } // Constructor and other methods... } public static Rectangle GetEnclosingRectangle(Rectangle rect1, Rectangle rect2) { var minX = Math.Min(rect1.XMin, rect2.XMin); var minY = Math.Min(rect1.YMin, rect2.YMin); var maxX = Math.Max(rect1.XMax, rect2.XMax); var maxY = Math.Max(rect1.YMax, rect2.YMax); return new Rectangle() { XMin = minX, YMin = minY, XMax = maxX, YMax = maxY }; } ``` 这段代码首先创建了一个简单的 `Rectangle` 类用于表示矩形对象及其四个关键(即左下角与右上角),接着实现了静态方法 `GetEnclosingRectangle` 接受两个参数作为输入并返回一个新的 `Rectangle` 实例代表所得的结果矩形
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