用O(n)复杂度求第k大的值

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本文深入探讨了快速选择算法的思想与应用，通过选取一个基准元素（pivot），将数组划分并找到第k大的元素。同时，详细解析了主定理（Master Theorem），这是一种用于分析递归算法复杂度的强大工具，适用于形式为T(n)=aT(n/b)+f(n)的递推表达式。

算法思想

取一个pivot，以pivot将原数组划分为两部分大小分别是x和y，确定了pivot的位置，现在知道pivot是第y+1大，如果k比y+1小，继续往右边找，如果k比y+1大，往左边找，如果k等于y+1，说明找到了。

主定理（master theorem）

假设有递推表达式 $T(n)=aT(nb)+f(n)T(n)=aT(\frac n b)+f(n)$ ，其中 $n$ 为问题规模， $a$ 为递推的子问题数量， $nb\frac n b$ 为每个子问题的规模（假设每个子问题的规模基本一样）， $f (n)$ 为递推以外进行的计算工作。
$a \geq 1 ， b > 1$ 为常数， $f (n)$ 为函数， $T (n)$ 为非负整数。则有以下结果（分类讨论）：

a. $若f(n)=O(nlogba−ϵ),ϵ>0,则T(n)=Θ(nlogba)若f(n)=O(n^{log_ba-\epsilon}),\epsilon>0,则T(n)=\Theta(n^{log_ba})$ 。
b. $若f(n)=Θ(nlogba),则T(n)=Θ(nlogbalogn)若f(n)=\Theta(n^{log_ba}),则T(n)=\Theta(n^{log_ba}logn)$ 。
c. $若f(n)=Ω(nlogba+ϵ),ϵ>0,且对于某个常数c<1和所有充分大的n有af(nb)≤cf(n),那么T(n)=Θ(f(n))若f(n)=\Omega(n^{log_ba+\epsilon}),\epsilon>0,且对于某个常数c<1和所有充分大的n有af(\frac nb) \leq cf(n),那么T(n)=\Theta(f(n))$ 。

证明

上面算法每次规模缩小一半，除此以外需要n次比较，所以可以写出递推表达式是 $T(\frac n 2)+n$ 。
由主定理可知，
$a=1,b=2,log_ab=0$
有 $f(n)=n=Ω(nϵ),ϵ取1,c取12，所以T(n)=Θ(n)f(n)=n=\Omega(n^\epsilon), \epsilon取1,c取\frac 12，所以T(n)=\Theta(n)$ 。

代码实现

    private int partition(int[] nums, int l, int r) {
        int pivot = nums[l];
        while (l < r) {
            while (l < r && pivot <= nums[r]) r--;
            if (l < r) nums[l] = nums[r];
            while (l < r && pivot >= nums[l]) l++;
            if (l < r) nums[r] = nums[l];
        }
        nums[l] = pivot;
        return l;
    }

    public int findKthLargest(int[] nums, int l, int r, int k) {
        if (l == r && k == 1) return nums[l];
        int pivotIndex = partition(nums, l, r);
        int y = r - pivotIndex;
        if (k < y + 1) return findKthLargest(nums, pivotIndex + 1, r, k);
        else if (k > y + 1) return findKthLargest(nums, l, pivotIndex - 1, k - y - 1);
        else return nums[pivotIndex];
    }