打家劫舍 III-动态规划

小偷又发现了一个新的可行窃的地区。这个地区只有一个入口，我们称之为 root 。

除了 root 之外，每栋房子有且只有一个“父“房子与之相连。一番侦察之后，聪明的小偷意识到“这个地方的所有房屋的排列类似于一棵二叉树”。 如果 两个直接相连的房子在同一天晚上被打劫 ，房屋将自动报警。

给定二叉树的 root 。返回 在不触动警报的情况下 ，小偷能够盗取的最高金额 。

示例 1:

输入: root = [3,2,3,null,3,null,1]
输出: 7
解释: 小偷一晚能够盗取的最高金额 3 + 3 + 1 = 7
示例 2:

输入: root = [3,4,5,1,3,null,1]
输出: 9
解释: 小偷一晚能够盗取的最高金额 4 + 5 = 9

提示：

树的节点数在 [1, $10^4$] 范围内
0 <= Node.val <= $10^4$

思想来自官方：https://leetcode.cn/problems/house-robber-iii/solution/da-jia-jie-she-iii-by-leetcode-solution/

简化一下这个问题：一棵二叉树，树上的每个点都有对应的权值，每个点有两种状态（选中和不选中），问在不能同时选中有父子关系的点的情况下，能选中的点的最大权值和是多少。

我们可以用 $f(o)$ 表示选择 $o$ 节点的情况下，$o$ 节点的子树上被选择的节点的最大权值和；$g(o)$ 表示不选择 $o$ 节点的情况下，$o$ 节点的子树上被选择的节点的最大权值和；$l$ 和 $r$ 代表 $o$ 的左右孩子。

• 当 $o$ 被选中时，$o$ 的左右孩子都不能被选中，故 $o$ 被选中情况下子树上被选中点的最大权值和为 $l$ 和 $r $ 不被选中的最大权值和相加，即 $f(o)=g(l)+g(r)$。

• 当 $o$ 不被选中时， $o$ 的左右孩子可以被选中，也可以不被选中。对于 $o$ 的某个具体的孩子 $x$，它对 $o$ 的贡献是 $x$ 被选中和不被选中情况下权值和的较大值。故 g(o)=max⁡{f(l),g(l)}+max⁡{f(r),g(r)}g(o) = \max \{ f(l) , g(l)\}+\max\{ f(r) , g(r) \}g(o)=max{f(l),g(l)}+max{f(r),g(r)}。

至此，我们可以用哈希表来存 $f$ 和 $g$ 的函数值，用深度优先搜索的办法后序遍历这棵二叉树，我们就可以得到每一个节点的 $f$和 $g$。根节点的 $f$ 和 $g$ 的最大值就是我们要找的答案。

class TreeNode:
    def __init__(self, val=0, left=None, right=None):
        self.val = val
        self.left = left
        self.right = right

class Solution:
    def __init__(self):
        self.f = {None: 0}
        self.g = {None: 0}

    def rob(self, root: TreeNode) -> int:
        self.dfs(root)
        return max(self.f[root], self.g[root])

    def dfs(self, node: TreeNode):
        if not node:
            return

        self.dfs(node.left)
        self.dfs(node.right)

        self.f[node] = node.val + self.g[node.right] + self.g[node.left]
        self.g[node] = max(self.f[node.left], self.g[node.left]) + max(self.f[node.right], self.g[node.right])


if __name__ == '__main__':
    s = Solution()
    print(s.rob(TreeNode(3,TreeNode(2,None, TreeNode(3)), TreeNode(3, None, TreeNode(1)))))