时间序列分析 - ARMA, ARIMA, SARIMA

最新推荐文章于 2025-07-11 21:57:19 发布

taoyuanforrest

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分类专栏：机器学习&人工智能

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本文深入探讨了时间序列分析的核心模型，包括ARMA、ARIMA和SARIMA，详细解析了自协方差、自相关系数及平稳性的概念。介绍了单位根检验和平稳性检验的方法，并阐述了滞后算子表示法在模型中的应用。最后，讲解了如何利用ARIMA和SARIMA处理非平稳和周期性时间序列。

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【目标数据】

ARMA: 针对弱平稳/宽平稳时间序列分析

ARIMA: 针对非平稳非周期性时间序列分析

SARIMA: 针对非平稳周期性时间序列分析。

【自协方差与自相关系数】

时间序列在t时刻记作Xt，在s时刻记作Xs,那么这两个时刻对应的时间序列的自协方差的计算公式为：

$\gamma(t,s)=E[(Xt-\bar{Xt})(Xs-\bar{Xs})]$

假设时间间隔t-s=k, 并且假设时间序列的均值为常数u, 那么上述公式可以写成

$\gamma(k)=\gamma(t,s)=E[(Xt-\mu )(Xs-\mu)]$

自相关系数的表达式为：

$\rho (k)=\rho (t,s)=\frac{\gamma (t,s)}{\sqrt{{\sigma_{t}^{2} }}\sqrt{{\sigma_{s}^{2} }}}$

如果方差恒定，上述公式可以写成：

$\rho (k)=\frac{\gamma (k)}{\sigma ^{2}}$

【平稳性】

满足以下三个条件即为宽平稳：

1）均值为常数

2）自协方差仅与时间差相关，与具体时刻无关

3）自相关系数仅与时间差相关，与具体时刻无关。或者说方差为常数。

非平稳的时间序列可以通过差分使其变为平稳的时间序列。

【平稳性检验】

ADF检验（单位根检验):

单位根检验是指检验序列中是否存在单位根，如果存在单位根就说明是非平稳时间序列。

python的statsmodels.tsa.stattools.adfuller提供了单位根检验方法。

【滞后算子表示法】

时间序列中，通常用L或者B表示之前的若干值，假设时间序列为：

$X=\{X_{1},X_{2},\dots \}\,$

那么对于t>1：

$\,LX_{t}=X_{{t-1}}$ 或者

$\,BX_{t}=X_{t-1}$ 或者

$\,X_{t}=LX_{{t+1}}$ $\;t\geq 1\,$ 或者

$\,L^{{-1}}X_{{t}}=X_{{t+1}}\,$ 以及

$\,L^{k}X_{{t}}=X_{{t-k}}.\,$

【ARMA】

Autoregressive–moving-average model 自回归移动平均

包含对过去值的p阶回归以及过去error误差的q阶移动平均。

如果用AR(p)来描述，公式可以写成：

$X_{t}=c+\sum _{i=1}^{p}\varphi _{i}X_{t-i}+\varepsilon _{t}.\,$

其中 $\varepsilon _{t}$ 是高斯白噪声。

用MA(q)来描述，公式为：

$X_{t}=\mu +\varepsilon _{t}+\sum _{i=1}^{q}\theta _{i}\varepsilon _{t-i}\,$

μ 是 $X_{t}$ 的均值 (often assumed to equal 0), $\varepsilon _{t}$ , $\varepsilon _{t-1}$ ,... 是白噪声.

将AR与MA综合起来，可以表示为：

$X_{t}=c+\varepsilon _{t}+\sum _{i=1}^{p}\varphi _{i}X_{t-i}+\sum _{i=1}^{q}\theta _{i}\varepsilon _{t-i}.\,$

忽略常数项c，将X移至等号左侧，用滞后算子表示法：

$\left(1-\sum _{i=1}^{p}\varphi _{i}L^{i}\right)X_{t}=\left(1+\sum _{i=1}^{q}\theta _{i}L^{i}\right)\varepsilon _{t}\,,$

简化表示：

$\varphi (L)X_{t}=\theta (L)\varepsilon _{t}\,$ 或者 ${\frac {\varphi (L)}{\theta (L)}}X_{t}=\varepsilon _{t}\,.$

其中：

$\varphi (L)=1-\sum _{i=1}^{p}\varphi _{i}L^{i}.\,$ $\theta (L)=1+\sum _{i=1}^{q}\theta _{i}L^{i}.\,$

【ARIMA】

Autoregressive integrated moving average

对于非平稳并且非周期的时间序列，可以通过差分操作使之变为平稳时间序列，差分是指将当前时刻的值减去前一时刻的值，得到的时间序列还可以继续差分下去，比如总共进行了d次差分操作，那么叫做d阶差分，因此ARIMA在ARMA的基础上进行了d阶差分操作以后的公式为：

$\left(1-\sum _{i=1}^{p}\phi _{i}L^{i}\right)(1-L)^{d}X_{t}=\left(1+\sum _{i=1}^{q}\theta _{i}L^{i}\right)\varepsilon _{t}\,$

【SARIMA】

周期性时间序列，可以作为ARIMA的扩展，因此，首先需要去除周期性，去除的方式是在周期间隔上做一次ARIMA，此时可以得到一个非平稳非周期性的时间序列，然后在此基础之上再一次使用ARIMA进行分析。可以表示为：

ARIMA(p, d, q) × (P, D, Q)S ，其中各参数含义为：

P: 周期性自回归阶数.
D: 周期性差分阶数.
Q: 周期性移动平均阶数.
S: 周期时间间隔.

p,d,q的含义与上面的ARIMA里面含义相同。

举个例子：对于周期为12的非平稳时间序列，那么ARIMA(3,1,0) x (2,1,0)12的含义为：

D=1意味着当前时刻t的值与过去一个周期时间点t-12的1阶差分，

P=2意味着当前时刻t的值是过去两个周期时间点t-12以及t-24的回归。

处理以后得到的时间序列再通过ARIMA(3,1,0)进行分析。

参考：

https://en.wikipedia.org/wiki/Autoregressive%E2%80%93moving-average_model

https://en.wikipedia.org/wiki/Autoregressive_integrated_moving_average

https://en.wikipedia.org/wiki/Lag_operator

https://machinelearningmastery.com/sarima-for-time-series-forecasting-in-python/