lintcode(382)三角形计数

本文介绍了一种算法,用于从整数数组中找出所有能构成三角形的三个数的组合,并详细解释了实现过程。

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Description:

给定一个整数数组,在该数组中,寻找三个数,分别代表三角形三条边的长度,问,可以寻找到多少组这样的三个数来组成三角形?

Explanation:

例如,给定数组 S = {3,4,6,7},返回 3

其中我们可以找到的三个三角形为:

{3,4,6}
{3,6,7}
{4,6,7}

给定数组 S = {4,4,4,4}, 返回 4

其中我们可以找到的三个三角形为:

{4(1),4(2),4(3)}
{4(1),4(2),4(4)}
{4(1),4(3),4(4)}
{4(2),4(3),4(4)}

Solution:

Use three pointers, go through all the possible combinations, and judge whether it is a triangle.

public class Solution {
    /**
     * @param S: A list of integers
     * @return: An integer
     */
    public int triangleCount(int S[]) {
        // write your code here
        if(S == null || S.length < 3){
            return 0;
        }
        int count = 0;
        for(int i = 0 ; i< S.length - 2;i++){
            for(int j = i + 1;j<S.length - 1;j++){
                for(int k = j + 1;k<S.length;k++){
                    if(triangleJudge(S[i] , S[j] ,S[k])){
                        count++;
                    }
                }
            }
        }
        return count;
    }
    
    public boolean triangleJudge(int a, int b , int c){
        if(a + b > c && a + c > b && b + c > a){
            return true;
        }else{
            return false;
        }
    }
}



### P2807 三角形计数的递推算法详解 #### 背景介绍 P2807 是一个经典的组合数学问题,涉及通过递推的方式解决三角形数量统计的问题。该问题的核心在于如何利用已知的状态逐步构建新的状态,从而实现高效计算。递推算法在此类问题中具有显著优势,因为它能够将复杂的全局问题分解为多个简单的局部子问题。 --- #### 递推关系分析 对于给定的一个由线段组成的图形结构,假设当前有 \( n \) 条边构成的部分图中共形成了 \( f(n) \)三角形,则可以通过新增加的一条边进一步扩展这一结构。新加入的第 \( n+1 \) 条边可能会与其他已有边形成新的交点,并由此产生额外的三角形。 具体而言,设每增加一条边所能形成的最大可能的新三角形数目取决于它能与之前哪些边相交并闭合出一个新的封闭区域。因此,递推公式可表示如下: \[ f(n) = f(n-1) + g(n) \] 其中: - \( f(n) \): 表示当总共有 \( n \) 条边时所形成的三角形总数; - \( g(n) \): 新增第 \( n \) 条边所带来的增量三角形数目[^1]。 为了更精确地定义 \( g(n) \),我们需要考察新增边的具体位置及其与其他现有边的关系。通常情况下,\( g(n) \) 的值依赖于前一步骤的结果以及特定几何约束下的排列方式[^3]。 --- #### 边界条件设定 任何递推过程都需要明确初始状态作为起点。在这里,我们可以合理假设计算从最简单的情形开始——即仅有少量几条边的情况。例如: - 当只有三条边 (\( n=3 \)) 构成完整的最小闭环时,显然只存在唯一一个三角形: \[ f(3)=1 \] - 若继续添加第四条边,在理想条件下(充分交叉),则理论上应至少再贡献两个独立的小型三角形单元至整体集合之中,故得: \[ f(4)=f(3)+g(4), \quad g(4)\geqslant2. \] 这些基本情形构成了后续演化的基石[^2]。 --- #### 实现代码展示 以下是基于上述理论框架编写的一种 Python 版本解决方案示意程序: ```python def count_triangles(n): # 初始化数组存储各阶段结果 dp = [0]*(n+1) # 设定基础情况 if n >= 3: dp[3] = 1 # 动态规划填充剩余项 for i in range(4, n+1): dp[i] = dp[i-1] + (i-2)*(i-1)//2 # 假设完全连通模型下增长规律 return dp[n] if __name__ == "__main__": N = int(input("请输入边的数量: ")) result = count_triangles(N) print(f"{N} 条边可以组成 {result} 个不同的三角形.") ``` 此脚本采用动态规划策略依次累加每一层新增贡献量直至目标规模为止[^3]。 --- #### 总结说明 综上所述,针对 P2807 类似题目中的三角形计数问题,运用恰当的递推思路不仅有助于简化逻辑推理流程,而且还能有效提升运行效率。关键是准确把握住每一次扩张操作背后隐藏的变化模式,并据此建立可靠的转换方程连接前后关联节点。 ---
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