关于三维莫队问题的一些思考和探究

背景介绍

首先，我是一名菜鸡。
前几天在做bzoj 5283时，经过转化后需要处理这样一个二元函数
$S(x,y)={\sum }_{i=1}^x{C}_y^i$
其中有$Q$组询问，$x\le y\le 2.5\times 10^5,Q\le 2.5\times 10^5$.
做法是：我们发现这个函数的重要性质是，假如已知$S(x,y)$, 那么我们可以在$O(1)$的时间内转移得到$S(x+1,y),S(x-1,y),S(x,y+1),S(x,y-1)$.
于是，我们依照莫队的思想，将所有询问离线下来。
对于询问$S(x_1,y_1),S(x_2,y_2)$ 按如下的规则进行比较排序：
首先比较$\frac{x_1}{\sqrt{n}}$与$\frac{x_2}{\sqrt{n}}$的值，小的在前。
如果这两个值相同的话，再比较$y_1$与$y_2$.
从一个询问跳到另一个询问时，我们直接暴力一个一个地把左端点从$x_1$移到$x_2$, 右端点从$y_1$移至$y_2$.
这样对所有询问排序后 ，我们计算左右端点的移动总距离。假设$Q,n$同阶。
左端点移动距离$T_1$: 对于每个大小为$\sqrt{n}$的块，左端点一定要在块内移动。每次移动的距离不超过$\sqrt{n}$, 每个块内移动的总次数不超过$n$ ($n$个询问), 总移动的距离不超过$n\sqrt{n}$. 这是块内的情况，而左端点在块与块之间移动时，每次移动的距离不超过$2\sqrt{n}$, 但是由于只有$\sqrt{n}$个块，因此总移动次数不超过$\sqrt{n}$, 总距离$O(n)$. 综上，左端点移动总距离$O(n\sqrt{n})$.
而右端点呢？更简单：对于左端点在同一个大小为$\sqrt{n}$的块内的询问，右端点是单调右移的，移动总距离不超过$n$, 又因为有$\sqrt{n}$个块，因此总距离$O(n\sqrt{n})$.
综上，左右端点移动的总距离为$O(n\sqrt{n})$, bzoj 5283这道题已经在$O(n\sqrt{n})$的复杂度内解决，均摊每次询问$O(\sqrt{n})$.（然而bzoj老爷机毒瘤卡常呜呜呜…）

问题引入——三维莫队

刚才，我们处理的是一个二元函数$S(x,y)$, 具有重要的转移性质。现在我们拓展这个问题，假设我们有一个三元函数$f(x,y,z)$, 其可以在$O(1)$的时间内转移到$f(x-1,y,z),f(x+1,y,z),f(x,y-1,z),f(x,y+1,z),f(x,y,z-1),f(x,y,z+1)$这六个值。有$Q$次询问，每次询问一个$f(x,y,z)$的值，$x,y,z\le n$, 是否可以较快速地求出所有询问的答案呢？
假设$Q,n\le 4.5\times 10^4$.

个人的想法

仿照二维莫队的思路，我们首先对询问进行排序。
瞎逼猜结论QAQ
注：性急的读者请跳过这一段推导，要读的请抱着批判的态度来读，读不懂或者有疑问请继续看下面，否则我概不负责！！！
一个（显然的）猜测是，既然二维莫队$O(n^{\frac{1}{2}})$每次，那我们三维的，是不是可以$O(n^{\frac{2}{3}})$每次呢？ 对于询问$f(x,y,z)$, 按照$\frac{x}{n^{\frac{2}{3}}}$为第一关键字，$\frac{y}{n^{\frac{1}{3}}}$为第二关键字，$z$为第三关键字排序，$O(1)$转移询问。
我们来复杂度分析（把大小为$n^{\frac{2}{3}}$的块称作大块，大小为$n^{\frac{1}{3}}$的块称作小块）： 对于$x$每个大块内每次询问的移动距离是$n^{\frac{2}{3}}$, 总共$n$次询问，总移动距离$O(n^{\frac{5}{3}})$.
对于$y$，当$x$在同一个大块内时，$y$的每次移动距离不超过$n^{\frac{1}{3}}$, 一共最多移动$n$次，总距离$n^{\frac{4}{3}}$, 对于$x$不在一个大块内，$y$的移动距离不超过$n$, 一共最多$n^{\frac{1}{3}}$次移动（因为就这么多个大块），总距离$n^{\frac{4}{3}}$. 综上，$y$的总移动距离$O(n^{\frac{4}{3}})$.
对于$z$, 总移动距离就是$O(x,y都不同的询问个数\times n)$. 而前者是$O(n^{\frac{2}{3}})$,因此右端点总移动次数是…$O(n^{\frac{5}{3}})$.
因此，总复杂度为$O(n^{\frac{5}{3}})$, 每次询问均摊$O(n^{\frac{2}{3}})$！

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等等……这个是对的吗……
冷静思考一下：
对于$z$来说，如果我们按照刚才的方式把$x$和$y$分成了若干类，那么这个类别的数目是多少呢？
$x$有$n^{\frac{1}{3}}$类，$y$有$n^{\frac{2}{3}}$类，那一共是……
相乘，$n$类！！
因此，刚才的分析是错误的，右端点总移动距离为$O(n^2)$！
呜呜呜……又要重新推了……
算了，不想试数了，我们来形式化地推一发。
设我们的排序方式是第一关键字$\frac{x}{n^a}$, 第二关键字$\frac{y}{n^b}$, 第三关键字$z$.
对于$x$, 在每个块内移动距离$O(n^a)$, 总询问数$O(n)$, 总距离$O(n^{1+a})$.
对于$y$, 当$x$在同一大块内时，$y$每次移动距离$O(n^b)$, 共$n$个询问，$O(n^{1+b})$. 当$x$不在同一大块内时，有$O(n^{1-a})$个大块，每个大块$y$要移动$n$的距离，因此$O(n^{2-a})$. 综上，$y$移动距离$O(n^{\max (1+b,2-a)})$.
对于$z$, 我们考虑$x,y$的块总共会将$n$个询问分成$O(n^{1-a+1-b})$类，对于每一类询问，都要移动$n$的距离，因此$z$移动距离$O(n^{3-a-b})$.
然后我们来最优化。首先，为了让复杂度不至于达到$O(n^2)$, $3-a-b$必须$<2$, $a+b>1$. 而对于$y$的$\max (1+b,2-a)$, $1+b>2-a$等价于$a+b>1$, 因此恒满足，$y$的复杂度其实就是$O(n^{1+b})$.
然后就简单了……$O(n^{1+a}),O(n^{1+b}),O(n^{3-a-b})$, 平衡一下，显然$a=b=n^{\frac{2}{3}}$时取最优，$O(n^{\frac{5}{3}})$, 单次均摊$O(n^{\frac{2}{3}})$.

后记

重申，本人弱鸡，刚刚从bzoj 5283这道题里得到的启发，推了一发写了此文，若有错误敬请大佬们指出，感激不尽。
关于三维莫队问题，目前没有任何一个人跟我讨论过，纯粹是我自己的一点想法，也没有找其他人检验过（我好菜啊），也没有专门看过此类课题的论文，因此文章内容很可能有错误之处。不过刚才推了这么一大串，最后的核心思想就是一个，通过排序平衡三个端点的移动距离。刚才的内容如果正确，还可以推广到更高维的情况，但是更高维大概只有理论价值，实际上并不会比$O(n^2)$暴力快到哪里去。我相信，这个简简单单的问题早已被之前的大佬们解决，我只是发表一点自己的思考而已。如果哪位大佬在这个问题上有更优秀的做法，敬请指出，谢谢。