最小二乘法（最小平方法）

最小二乘法在数据拟合中的应用

最新推荐文章于 2025-07-17 19:35:44 发布

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http://zh.wikipedia.org/wiki/最小二乘法

还是维基说的最清楚！

某次实验得到了四个数据点 $(x, y)$ ： $(1, 6)$ 、 $(2, 5)$ 、 $(3, 7)$ 、 $(4, 10)$ （右图中红色的点）。我们希望找出一条和这四个点最匹配的直线 $y=\beta_1+\beta_2 x$ ，即找出在某种“最佳情况”下能够大致符合如下超定线性方程组的 $\beta_1$ 和 $\beta_2$ ：

\begin{alignat}{4}\beta_1 + 1\beta_2 &&\; = \;&& 6 & \\\beta_1 + 2\beta_2 &&\; = \;&& 5 & \\\beta_1 + 3\beta_2 &&\; = \;&& 7 & \\\beta_1 + 4\beta_2 &&\; = \;&& 10 & \\\end{alignat}

最小二乘法采用的手段是尽量使得等号两边的方差最小，也就是找出这个函数的最小值：

\begin{align}S(\beta_1, \beta_2) = &\left[6-(\beta_1+1\beta_2)\right]^2+\left[5-(\beta_1+2\beta_2) \right]^2 \\&+\left[7-(\beta_1 + 3\beta_2)\right]^2+\left[10-(\beta_1 + 4\beta_2)\right]^2.\\\end{align}

最小值可以通过对 $S(\beta_1, \beta_2)$ 分别求 $\beta_1$ 和 $\beta_2$ 的偏导数，然后使它们等于零得到。

\frac{\partial S}{\partial \beta_1}=0=8\beta_1 + 20\beta_2 -56

\frac{\partial S}{\partial \beta_2}=0=20\beta_1 + 60\beta_2 -154.

如此就得到了一个只有两个未知数的方程组，很容易就可以解出：

\beta_1=3.5

\beta_2=1.4

也就是说直线 $y=3.5+1.4x$ 是最佳的。

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