LeetCode Unique Binary Search Trees

题目：

Given n, how many structurally unique BST’s (binary search trees) that store values 1…n?

For example,
Given n = 3, there are a total of 5 unique BST’s.

   1         3     3      2      1
    \       /     /      / \      \
     3     2     1      1   3      2
    /     /       \                 \
   2     1         2                 3

标签: Tree Dynamic Programming

分析

如果把上例的顺序改一下，就可以看出规律了。

\begin{Code} 
 1       1           2          3       3 
  \       \         / \        /       / 
   3       2       1   3      2       1 
  /         \                /         \ 
2            3              1           2 
\end{Code}

比如，以1为根的树的个数，等于左子树的个数乘以右子树的个数，左子树是0个元素的树，右子树是2个元素的树。以2为根的树的个数，等于左子树的个数乘以右子树的个数，左子树是1个元素的树，右子树也是1个元素的树。依此类推。

当数组为 $1,2,3,…,n$时，基于以下原则的构建的BST树具有唯一性：
\textbf{以i为根节点的树，其左子树由[1, i-1]构成， 其右子树由[i+1, n]构成。}

定义$f(i)$为以$[1,i]$能产生的Unique Binary Search Tree的数目，则

如果数组为空，毫无疑问，只有一种BST，即空树，$f(0)=1$。

如果数组仅有一个元素{1}，只有一种BST，单个节点，$f(1)=1$。

如果数组有两个元素{1,2}， 那么有如下两种可能

\begin{Code} 
1             2 
  \          / 
    2      1 
\end{Code}

f(2)=+f(0)∗f(1) ，1为根的情况f(1)∗f(0) ，2为根的情况

再看一看3个元素的数组，可以发现BST的取值方式如下：

f(3)=++f(0)∗f(2) ，1为根的情况f(1)∗f(1) ，2为根的情况f(2)∗f(0) ，3为根的情况

所以，由此观察，可以得出$f$的递推公式为

f(i)=∑k=1if(k−1)×f(i−k)

附代码：

public class Solution <span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">{</span>

02
    public int numTrees(int n) {
03
        int dp[] = new int[n+1];
04
        dp[0] = dp[1] = 1;
05
        for(int i=2; i<=n; i++){
06
            for(int k=1; k<=i; k++){
07
                dp[i] += dp[k-1] * dp[i-k];
08
            }
09
        }
10
        return dp[n];
11
    }
12
}