8-3. 组个最小数

本博客指导您如何在给定特定数量的数字时,通过特定算法排列出最小的数字。包括输入解析、排序策略及输出最小数字的方法。

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给定数字0-9各若干个。你可以以任意顺序排列这些数字,但必须全部使用。目标是使得最后得到的数尽可能小(注意0不能做首位)。例如:给定两个0,两个1,三个5,一个8,我们得到的最小的数就是10015558。

现给定数字,请编写程序输出能够组成的最小的数。

输入格式:

每个输入包含1个测试用例。每个测试用例在一行中给出10个非负整数,顺序表示我们拥有数字0、数字1、……数字9的个数。整数间用一个空格分隔。10个数字的总个数不超过50,且至少拥有1个非0的数字。

输出格式:

在一行中输出能够组成的最小的数。

输入样例:
2 2 0 0 0 3 0 0 1 0
输出样例:
10015558
#include<stdio.h>
#include<string.h>

int main(void)
{
	//freopen("input.txt","r",stdin);
	int cnt[10];
	memset(cnt, 0, sizeof(cnt));
	int i;
	for(i=0; i<10; i++)
	{
		scanf("%d", &cnt[i]);
	}
	
	for(i=1; i<10; i++)
	{
		if(cnt[i]!=0)
		{
			printf("%d", i);
			cnt[i]--;
			break;
		}
	}
	for(i=0; i<10; i++)
	{
		while(cnt[i]!=0)
		{
			printf("%d", i);
			cnt[i]--;
		}
	}
	return 0;
}


<think>我们使用牛顿迭代法求解非线性方程。牛顿迭代法的基本思想是利用泰勒展开,将非线性方程线性化,然后迭代求解。 对于方程 F(X) = 0,其中X是21维向量,F是21维向量函数。 迭代公式为:X_{k+1} = X_k - J(X_k)^{-1} * F(X_k) 其中J(X_k)是F在X_k处的雅可比矩阵(21x21矩阵)。 在实际编程中,我们并不直接求逆矩阵,而是求解线性方程: J(X_k) * ΔX_k = -F(X_k) 然后更新:X_{k+1} = X_k + ΔX_k 要求: 1. 使用初始猜测x0(21维向量) 2. 输出每一步迭代的各变量值(即X的每个分量),精度为1e-4(即输出时保留4位小数3. 设置大迭代次数,避免无限循环,比如100次 4. 设置收敛条件:当ΔX_k的范数(比如2-范数)小于某个容差(如1e-6)时停止 注意:雅可比矩阵的计算可以通过数值差分法近似(如果解析表达式难以得到),这里我们假设用户提供的函数可以计算函数值F,但雅可比矩阵需要数值计算。 步骤: 1. 定义非线性方程函数F(输入21维向量,输出21维向量) 2. 编写计算雅可比矩阵的函数(使用数值差分法,例如中心差分) 3. 初始化:x0大迭代次数maxIter,容差tol 4. 迭代循环: 计算当前点的函数值F_k = F(X_k) 计算雅可比矩阵J_k = jacobian(F, X_k) 求解线性方程:J_k * dX = -F_k 更新:X_k+1 = X_k + dX 输出当前迭代步的变量值(保留4位小数) 检查dX的范数是否小于容差,如果是则停止 5. 如果达到大迭代次数仍未收敛,则提示未收敛 由于问题中要求输出每一步的各变量值,我们在每次迭代后以固定格式输出。 注意:数值差分法计算雅可比矩阵的公式: J的第i行第j列元素:J_ij = [F_i(X + h*e_j) - F_i(X - h*e_j)] / (2h) (中心差分) 其中e_j是第j个单位向量,h为步长(例如1e-6)。 但是,由于方程有21个方程,21个变量,计算一次雅可比矩阵需要计算42次函数值(每个变量需要两次函数值计算,一次向前一次向后,但注意中心差分需要两次函数值,且每个变量都要计算所有方程在该方向上的变化)。 考虑到效率,我们可以这样计算: for j = 1:21 x_plus = X; x_plus(j) = x_plus(j) + h; x_minus = X; x_minus(j) = x_minus(j) - h; J(:,j) = (F(x_plus) - F(x_minus)) / (2*h); end 但注意:这样计算会引入误差,且h的选择很重要(通常取1e-6)。 另外,如果方程函数F的解析形式已知,好直接提供雅可比矩阵,这样更精确且高效。但题目没有给出具体方程,所以我们用数值差分。 代码结构: function X_sol = newtonRaphson() % 定义方程F(这里需要用户自己定义,这里用一个示例函数代替,实际使用时要替换) F = @(x) ...; % 返回21维列向量 % 初始猜测 x0 = ...; % 21维列向量 maxIter = 100; tol = 1e-6; h = 1e-6; % 数值差分步长 X = x0; fprintf(&#39;初始值: &#39;); fprintf(&#39;%.4f &#39;, X); fprintf(&#39;\n&#39;); for iter = 1:maxIter % 计算当前函数值 F_k = F(X); % 计算雅可比矩阵 J = zeros(21,21); for j = 1:21 X_temp1 = X; X_temp1(j) = X_temp1(j) + h; f_plus = F(X_temp1); X_temp2 = X; X_temp2(j) = X_temp2(j) - h; f_minus = F(X_temp2); J(:,j) = (f_plus - f_minus) / (2*h); end % 求解线性方程:J * dX = -F_k % 使用反斜杠运算符求解 dX = J \ (-F_k); % 更新 X_new = X + dX; % 输出当前迭代步 fprintf(&#39;迭代步 %d: &#39;, iter); fprintf(&#39;%.4f &#39;, X_new); % 输出每个变量的值,保留4位小数 fprintf(&#39;\n&#39;); % 检查收敛:dX的范数小于容差 if norm(dX) < tol fprintf(&#39;在 %d 步后收敛.\n&#39;, iter); X_sol = X_new; return; end % 更新X X = X_new; end fprintf(&#39;达到大迭代次数 %d 未收敛.\n&#39;, maxIter); X_sol = X; end 注意:由于方程可能不收敛,所以设置大迭代次数。 但是,用户需要提供具体的方程函数F。这里我们假设用户会自己定义F。 因此,我们可以编写一个通用的牛顿迭代函数,它接受函数F、初始点x0、容差、大迭代次数等参数。 下面我们编写一个函数,它包含这些参数,并输出每一步的迭代结果。 由于问题要求输出MATLAB代码,我们将编写一个完整的函数,但方程F需要用户自行定义(这里用一个示例函数,用户需要替换)。 示例:假设我们要解一个简单的21元方程(实际方程由用户提供),这里我们用一个已知的方程来测试(例如,每个方程都是x_i^2 - 1 =0,即求x_i=±1)。 注意:实际应用中,用户需要替换F函数。 代码实现如下:</think>以下是使用牛顿迭代法求解21元非线性方程的MATLAB代码,代码包含详细注释说明每一步操作: ```matlab function [sol, iter] = newton_raphson_21eq(F, J, x0, tol, max_iter) % 牛顿迭代法求解21元非线性方程 % 输入: % F: 方程函数句柄 (返回21x1向量) % J: 雅可比矩阵函数句柄 (返回21x21矩阵) % x0: 初始猜测值 (21x1向量) % tol: 收敛容差 (默认1e-6) % max_iter: 大迭代次数 (默认100) % 输出: % sol: 终解 % iter: 实际迭代次数 % 设置默认参数 if nargin < 5, max_iter = 100; end if nargin < 4, tol = 1e-6; end x = x0(:); % 确保列向量 fprintf(&#39;%-6s %-10s %s\n&#39;, &#39;Iter&#39;, &#39;Norm(dx)&#39;, &#39;Variables (x1-x21)&#39;); fprintf(&#39;%-6d %-10.4e &#39;, 0, norm(x)); fprintf(&#39;%.4f &#39;, x); % 输出初始值 fprintf(&#39;\n&#39;); for iter = 1:max_iter % 计算当前函数值和雅可比矩阵 Fx = F(x); Jx = J(x); % 求解线性方程: Jx * dx = -Fx dx = Jx \ (-Fx); % 更新解 x_new = x + dx; % 输出当前迭代结果(保留4位小数) fprintf(&#39;%-6d %-10.4e &#39;, iter, norm(dx)); fprintf(&#39;%.4f &#39;, x_new); fprintf(&#39;\n&#39;); % 检查收敛条件 if norm(dx) < tol fprintf(&#39;\n在 %d 步后收敛\n&#39;, iter); sol = x_new; return; end x = x_new; % 更新迭代点 end warning(&#39;达到大迭代次数 %d 未收敛&#39;, max_iter); sol = x; end % ===== 示例用法 ===== % 1. 定义方程函数(示例:修改为实际方程) function F = example_equations(x) % 示例方程 (实际使用时替换为具体方程) % 这里用简单的二次方程作为示例 F = zeros(21,1); for i = 1:21 F(i) = x(i)^2 - 1/(i+1); % 示例方程 x_i^2 = 1/(i+1) end end % 2. 定义雅可比矩阵函数(示例:修改为实际雅可比) function J = example_jacobian(x) % 示例雅可比矩阵 (实际使用时替换为具体雅可比) J = zeros(21,21); for i = 1:21 J(i,i) = 2*x(i); % 对角线元素为导数 end end % 3. 调用求解器 x0 = 0.5*ones(21,1); % 初始猜测值 tol = 1e-6; % 容差 max_iter = 50; % 大迭代次数 [sol, iter] = newton_raphson_21eq(@example_equations, ... @example_jacobian, ... x0, tol, max_iter); ``` ### 代码说明: 1. **核心算法**: - 使用牛顿迭代公式 $x_{k+1} = x_k - J(x_k)^{-1}F(x_k)$ - 通过求解线性方程 $J(x_k)\Delta x = -F(x_k)$ 计算增量 - 迭代直至 $\|\Delta x\| < \text{tol}$ 或达到大迭代次数 2. **输出特性**: - 每步迭代输出所有21个变量的值(保留4位小数- 显示当前迭代步数、增量范数 - 收敛时显示总结信息 3. **使用步骤**: ```matlab % 1. 在example_equations中定义实际方程 % 2. 在example_jacobian中定义雅可比矩阵 % 3. 设置初始猜测值x0 % 4. 调用求解器函数 ``` ### 注意事项: 1. **雅可比矩阵**: - 解析雅可比矩阵(推荐):提供精确导数计算 - 数值近似(备选):若解析式复杂,可用有限差分代替 ```matlab function J = numerical_jacobian(F, x, h=1e-6) % 数值雅可比矩阵计算 n = length(x); F0 = F(x); J = zeros(n); for k = 1:n x_temp = x; x_temp(k) = x_temp(k) + h; J(:,k) = (F(x_temp) - F0)/h; end end ``` 2. **收敛性**: - 牛顿迭代法在根附近具有二次收敛性 - 若初始点远离真解可能发散[^2] - 奇异雅可比矩阵会导致求解失败 3. **性能优化**: - 大型方程建议使用稀疏矩阵存储 - 考虑使用`mldivide`的迭代求解器选项 - 实现雅可比矩阵的稀疏模式加速计算 ### 示例输出格式: ``` Iter Norm(dx) Variables (x1-x21) 0 1.1180e+00 0.5000 0.5000 ... 0.5000 1 5.0000e-01 0.7500 0.7500 ... 0.7500 2 2.5000e-01 0.8750 0.8750 ... 0.8750 ...8 步后收敛 ``` [^1]: 牛顿迭代法需要精确计算雅可比矩阵以保证收敛速度 [^2]: 初始点选择不当可能导致算法无法收敛
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