求1到n之间素数的个数

最新推荐文章于 2021-10-31 22:09:28 发布

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本文介绍两种方法解决求1到n之间素数个数的问题，包括将大范围分段处理的优化策略和使用DFS结合容斥原理的解法，并提供了C语言实现的代码示例。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

本题的n<=100000000;对于本题最常规的一种做法就是打表，虽然时间做的出来，但是代码长度就不乐观了，但是我们可以适当的做些优化。比如首先我们把100000000分成1000份，那么每份的长度是100000。这样假设我们要求的是1到n之间的素数个数，那么我们可以把这些区间的素数个数加起来[1,100000],[100001,200000]……[……,a]这样前面的区间我们的个数已经在打表中可得，只需求最后的区间就可以了。最后的那个区间我们就要素数筛选就可以了，这是其一种方法。

本题的另一种解法是Dfs+容斥原理，你可以这样想a=sqrt(n)最多不过10000。

首先我们都知道一个合数都可以用多个素数的乘积表示，比如：30=2*3*5.所以我们可以求出合数的个数，再从总数里减去就可以了。这样我们可以减去2的倍数(当然不包括2)，3的倍数……。但是我们有发现6既是2的倍数也是3的倍数，这样就产生了容斥原理。下面是代码：

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<math.h>

int flag[10006];
int num[10000],total,now,n;

void solve(int index,int Mul,int K){
      int i,t;
   if(K==0){
    now+=n/Mul;
    return;
   }
   for(i=index;i<total-K+1;i++){
     Mul*=num[i];
     t=now;
     if(Mul<=n){
              solve(i+1,Mul,K-1);
     }
     if(t==now)//优化剪枝（1）
      return;
           Mul/=num[i];
   }
}

int Judge(int x){
int t,i;
t=sqrt(x*1.0);
for(i=2;i<=t;i++)
if(n%i==0)
return 0;
return 1;
}

int main(){
    int i,j,t,Count;
memset(flag,0,sizeof(flag));
for(i=2;i<=10000;i++){
  if(flag[i])
   continue;
  for(j=2;j*i<=10000;j++)
   flag[i*j]=1;
}
while(scanf("%d",&n)==1){
  Count=0;
  if(n<=10000){
   for(i=2;i<n;i++)
    if(!flag[i])
     Count++;
  }
  else{
   t=sqrt(1.0*n);
   total=0;
   for(i=2;i<=t;i++)
    if(!flag[i])
     num[total++]=i;
   for(i=1;i<=total;i++){
    now=0;
    solve(0,1,i);
    if(now==0)//优化(2)
     break;
    if(i&1)
       Count+=now;
    else
       Count-=now;
   }
   Count-=total;
   Count=n-Count-1;
   if(Judge(n))
    Count--;
  }
  printf("%d\n",Count);
}
return 0;
}