树的直径解法

Part 1 求一棵树的直径的长度

方法1：2遍DFS
1.任找一个点root，DFS找距离root最远的点x

2.以x为根节点，DFS找到距离x最远的点y
则x到y为树的一条直径

代码实现：
 

int main(){
    cin>>n;
    for(int i=1;i<n;i++){
        int u,vv,w;
        cin>>u>>vv>>w;
        v[u].push_back((o){vv,w});
        v[vv].push_back((o){u,w});
    }
    dfs(1,0);
    cout<<maxn;
    return 0;
}
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n;

struct o{
    int to;
    int val;
};

vector<o> v[500010];
int maxn=0;
int ans=0;
int rec;

void dfs1(int now,int lon,int fa){
    if(maxn<lon){
        maxn=lon;
        rec=now;
    }
    for(int i=0;i<v[now].size();i++){
        if(v[now][i].to==fa) continue;
        dfs1(v[now][i].to,lon+v[now][i].val,now);
    }
}

void dfs2(int now,int lon,int fa){
    if(ans<lon){
        ans=lon;
    }
    for(int i=0;i<v[now].size();i++){
        if(v[now][i].to==fa) continue;
        dfs2(v[now][i].to,lon+v[now][i].val,now);
    }
}

int main(){
    cin>>n;
    for(int i=1;i<n;i++){
        int u,vv,w;
        cin>>u>>vv>>w;
        v[u].push_back((o){vv,w});
        v[vv].push_back((o){u,w}); 
    }
    dfs1(1,0,0);
    dfs2(rec,0,0);
    cout<<ans;
    return 0;
}

方法2：树形DP
设DP[i]和f[i]表示以点i为根节点的子树的最长链和次长链取max(dp[i]+f[i])

代码实现：
 

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n;
int maxn=0;

struct o{
    int to;
    int val;
};

vector<o> v[500010];
int dp[500010];
int f[500010];

void dfs(int now,int fa){
    //cout<<now<<endl;
    dp[now]=f[now]=0;
    for(int i=0;i<v[now].size();i++){
        if(v[now][i].to==fa) continue;
        dfs(v[now][i].to,now);
        int t=dp[v[now][i].to]+v[now][i].val;
        if(t>dp[now]){
            f[now]=dp[now];
            dp[now]=t;
        }
        else if(t>f[now]){
            f[now]=t;
        }
    }
    maxn=max(maxn,dp[now]+f[now]);
    return;
}

例题1：

P3629 [APIO2010] 巡逻]
首先，显然不加边时每条边需要经过2次，一次过去，一次回来

然后，加1条边时，形成1个环，环上每条边只需要经过1次，相比没加之前每条边要少1次，显然我们只需要让环上的边最多，也就是找直径，最后计算答案先2* (n-1)是不加边的路径数，减去直径上的边数，最后不要忘了加上1，也就是加的那一条边，轻松拿到三十分

代码实现：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,k;
int maxn=0;

struct o{
    int to;
    int val;
};

vector<o> v[500010];
int dp[500010];
int f[500010];
int cur[500010];
int cnt=0;

void dfs(int now,int fa){
    //cout<<now<<endl;
    dp[now]=f[now]=0;
    for(int i=0;i<v[now].size();i++){
        if(v[now][i].to==fa) continue;
        dfs(v[now][i].to,now);
        int t=dp[v[now][i].to]+v[now][i].val;
        if(t>dp[now]){
            f[now]=dp[now];
            dp[now]=t;
        }
        else if(t>f[now]){
            f[now]=t;
        }
    }
    maxn=max(maxn,dp[now]+f[now]);
    return;
}

int main(){
    cin>>n>>k;
    for(int i=1;i<n;i++){
        int u,vv,w=1;
        cin>>u>>vv;
        v[u].push_back((o){vv,w});
        v[vv].push_back((o){u,w});
    }
    dfs(1,0);
    if(k==1){
        cout<<2*(n-1)-maxn+1;
    }
    return 0;
}

再考虑K=2，还要加一条边，那是次长的那一条吗？不一定，因为如果两条中边有交集，手推发现交集那部分边又要走两遍了，因此我们可以把第一边扫过的边的边权改成-1，这样就可以加上重复的边数

代码实现：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
template<typename type>
void read(type &x){
    type f=1;x=0;char s=getchar();
    while(s<'0'||s>'9'){if(s=='-')f=-1;s=getchar();}
    while(s>='0'&&s<='9'){x=x*10+s-'0';s=getchar();}
    x*=f;
}
const int N=1e5+7;
struct node{
    int to,w,next;
}e[N*2];
int head[N],cnt;
void add(int a,int b,int c){
    e[++cnt].to=b;
    e[cnt].next=head[a];
    head[a]=cnt;
    e[cnt].w=1;
}
int dis[N],vis[N],l1,l2,n,k,point,f[N],d[N],v[N];
int ans=0;
void bfs(int x,int ck){
    memset(dis,0,sizeof(dis));
    memset(vis,0,sizeof(vis));
    queue<int >q;
    q.push(x);
    vis[x]=1;
    while(!q.empty()){
        int now=q.front();
        q.pop();
        for(int i=head[now];i;i=e[i].next){
            int y=e[i].to;
            if(!vis[y]){
                vis[y]=1;
                dis[y]=dis[now]+e[i].w;
                q.push(y);
                if(ck)f[y]=now;
            }
        }
    }
    for(int i=1;i<=n;i++){
        if(ans<dis[i])ans=dis[i],point=i;
    }
}
void change(int a){
    while(f[a]){
        int fa=f[a];
        for(int i=head[fa];i;i=e[i].next){
                if(e[i].to==a){
                   e[i].w=-1;
                   break; 
                }
        }
        for(int i=head[a];i;i=e[i].next){
            if(e[i].to==fa){
                e[i].w=-1;
                break;
            }
        }
        a=fa;
    }
}
void dp(int x){
    v[x]=1;
    for(int i=head[x];i;i=e[i].next){
        int y=e[i].to;
        if(v[y])continue;
        dp(y);
        ans=max(ans,dis[x]+dis[y]+e[i].w);
        dis[x]=max(dis[x],dis[y]+e[i].w);
    }

}

int main(){
   read(n);read(k);
    for(int i=1;i<n;i++){
        int a,b;
           read(a);read(b);
        add(a,b,1);
        add(b,a,1);
    }
    if(k==1){
        bfs(1,0);
        bfs(point,0);
        printf("%d",2*n-dis[point]-1);
    }
    else{
        bfs(1,0);
        bfs(point,1);
        l1=dis[point];
        change(point);
        memset(dis,0,sizeof(dis));
        memset(vis,0,sizeof(vis));
        ans=0;
        dp(1);
        printf("%d",2*n-ans-l1);
    }
    return 0;
}