图卷积网络（GCN）运行细节

图1 图卷积网络

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$$Z=f\left(X,A\right)=softmax(\hat{A}\text{ ReLU}\left(\hat{A}\text{ X}{W}^{(0)}\right)W^{(1)})...........(1)$$

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一、公式说明

  式(1)就代表着一个单隐藏层的图卷积神经网络的数学模型。下面对这个公式中每个变量的含义进行说明：
  其中$\hat{A}$是邻接矩阵的一个变体，但是本质上还是邻接矩阵，把它当邻接矩阵看就行，在整个图卷积网络运行过程中，$\hat{A}$是不会变化的；$X$代表的就是输入的图结构中全部节点组合而成的特征矩阵；$W^{(0)}$是输入层$C$与第1层隐藏层之间的连接权值矩阵,$W^{(1)}$是第1层隐藏层与输出层$Z$之间的连接权值矩阵；$ReLU()$和$softmax()$是激活函数，目的在于引入非线性；$\text{ReLU}\left(\hat{A}\text{ X}{W}^{(0)}\right)$这个整体就是输入图结构处在第1层隐藏层时，全部节点组合而成的特征矩阵，如果参照公式中$W$的标号方法，那么$\text{ReLU}\left(\hat{A}\text{ X}{W}^{(0)}\right)=X^{(1)}$，这样如果再叠加一层隐藏层，上面的公式怎么改也明了了。

二、实例假设

  随机举个图结构的例子，如图2所示。

图2 图结构

  那么邻接矩阵$\hat{A}$的维度就是$5\times 5$（5个节点）。对于图2，$\hat{A}$就为（考虑了归一化等等因素，其实节点之间的权值分配就相当于 a ij = 1 d e g ( v i ) d e g ( v j ) a_{\text{ij}} = \frac{1}{\sqrt{deg(v_{i})deg(v_{j})}} aij​=deg(v