SRM537-div1-2-KingXMagicSpells_srm537 div1-优快云博客

本文详细解析了如何通过模拟和独立考虑二进制位的方法，计算第K天之后房间0中鸭子数的期望值。重点在于理解鸭子数的变化模式及其在二进制表示下独立性的作用。

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zz: http://www.strongczq.com/2012/03/srm537-div1-2-kingxmagicspells.html

题目原文：http://community.topcoder.com/stat?c=problem_statement&pm=11822

题目大意：

有N个编号为0,1,...,N-1的房间，每个房间里有若干只鸭子，鸭子数量用int[] ducks来表示。每一天会以等概率事件发生以下两件事之一：

事件一：对于每一个房间i，鸭子数ducks[i]与数组int[] s1的对应元素s1[i]做异或位运算并重新赋值给ducks[i];
事件二：对于每一个房间i，该房间中的所有鸭子转移到数组int[] s2所表示的对应元素s2[i]编号房间中，s2数组中的所有元素各不相同，并且所有房间的鸭子转移是在瞬间完成的。

问：第K天之后房间0中鸭子数的期望值是多少？

数据规模：N和K均为[1,50]，ducks[]、s1[]、s2[]中的元素的取值范围为[0, 1,000,000,000]

思路：

鸭子数只存在两种变化方式：

与一个整数做异或位操作
不同房间鸭子数互换

这两种变化方式存在一个特点，如果把鸭子数表示成二进制形式，那么二进制中的不同位是可以相互独立进行考虑的。这一点是解题的关键，因为这样就可以分别计算每一位在K天之后的期望值，然后得到综合值。

由于二进制位只可能取0或1两个值，因此我们可以模拟每一天过后，每个房间的鸭子数中该位取0和1的概率分别是多少。K天之后0房间内累加鸭子数每一位的期望值乘以该二进制位代表的值，即为最终的鸭子数期望值。

Java代码：

public class KingXMagicSpells {
    public double expectedNumber(int[] ducks, int[] spellOne, int[] spellTwo, int K) {
        double res = 0.0;
        for (int i = 0; i < 31; ++i) {
            int[] sBit = new int[spellOne.length];
            double[][] p = new double[ducks.length][2];
            for (int j = 0; j < ducks.length; ++j) {
                sBit[j] = (spellOne[j] >> i) & 1;
                p[j][(ducks[j] >> i) & 1] = 1.0;
            }
            for(int k = 0; k < K; ++k){
                double[][] np= new double[ducks.length][2];
                for(int j = 0; j < ducks.length; ++j){
                    np[j][0 ^ sBit[j]] += 0.5 * p[j][0];
                    np[j][1 ^ sBit[j]] += 0.5 * p[j][1];
                    np[spellTwo[j]][0] += 0.5 * p[j][0];
                    np[spellTwo[j]][1] += 0.5 * p[j][1];
                }
                p = np;
            }
            res += p[0][1] * (1 << i);
        }
        return res;
    }
}