第八届“图灵杯”NEUQ-ACM程序设计竞赛个人赛（同步赛）G - 贪吃的派蒙（附详细讲解）

题目描述
在遥远的提瓦特大陆上，正在筹备一年一度的羽球节，猎鹿人餐厅为犒劳认真筹备的众人，准备了K份甜甜花酿鸡供大家排队领取。

在每一次的排队中，编号为i的角色领取上限为Ai，这意味着他可以领取的甜甜花酿鸡在[1-Ai]范围内。当一个角色领完本次的甜甜花酿鸡，他/她就会回到队列的末尾，直到所有甜甜花酿鸡都被吃完为止。当轮到一个角色领取时，如果所有的甜甜花酿鸡都被领完，那么他/她就要帮大家刷盘子。

贪吃的派蒙每次都吃固定的Ax个甜甜花酿鸡(如果剩下的甜甜花酿鸡的数量比Ax小，那么他就把剩下的都吃完)。我们很容易找到派蒙的编号，Ax比其他所有的Ai都要大。大家都想让派蒙最后留下来刷盘子，请你写一个程序来判断这是否可能。

输入描述:
第一行包含一个整数T(1≤T≤100)，表示有T组测试数据。

接下来每组测试数据包含两行。

第一行包含两个整数N和K(2≤N≤10^5
0≤K≤10^8)，分别表示人数和甜甜花酿鸡的数量。

第二行包含一个整数Ai(1≤Ai≤10^9)，表示队列中编号为i的角色可以领取甜甜花酿鸡的最大数量。始终只有一个最大的Ax。

输出描述:
如果大家能找到一种方案让派蒙刷盘子，那么输出“YES”。否则输出“NO”。

示例1
输入：
1
4 3
1 2 3 2

输出：
YES

示例2
输入：
1
5 8
1 2 3 2 1

输出：
NO

分析

根据题意，此题需要先后解决两个问题：（1）派蒙的位置。（2）什么情况下派蒙刚好吃不到甜甜花酿鸡。派蒙的位置很容易确定，通过遍历一次数组，找到最大元素的位置即确定派蒙的位置。那怎么判断在K个甜甜花酿鸡情况下，派蒙是否刚好吃不到甜甜花酿鸡？

我们可以从小量甜甜花酿鸡开始分析：题意表明，除派蒙外，每个人至少吃1个，我们假定派蒙的位置为pos，如果甜甜花酿鸡数量小于 pos-1 即还没到派蒙，甜甜花酿鸡就吃完了，此情况下，派蒙一定不会刷盘子，派蒙之前的人一定会刷盘子。我们知道每个人最多吃Ai个，如果甜甜花酿鸡数量略微大于pos之前Ai之和，那派蒙一定不会刷盘子，派蒙之后的人一定会刷盘子。（注意：此处情况是略微大于，一会我们将讨论远大于的情况）。也就是说甜甜花酿鸡数量在 pos-1 到 pre_sum[pos-1] 闭区间 派蒙一定会刷盘子。现在我们分析甜甜花酿鸡数量很大的情况，我们可以这么想：经过rounds轮后，剩余的甜甜花酿鸡数量已经不够下一轮了，此时情况与小量情况一模一样。至此，此题基本就解决了。

现在有一个重要问题没有解决：每轮中，整个队的人吃多少个甜甜花酿鸡？我们可以假定整个队的人每次吃个特殊数，即极大数或者极小数。因为只有这样我们才能得到更多的信息来分析。一个队吃的最小值为min_sum，最大值为：max_sum。我们假定一个队吃最小值，这样可以得到一个重要信息：K个甜甜花酿鸡最多rounds轮后就吃完了。同时我们将剩下left个。现在我们判断left。若left比 pos-1 小，也就是上一轮多吃了，因为每次只吃最小，所以我们只需left加min_sum（也就是说多吃了一轮）。同时，rounds减一，然后再判断left。若left比pre_sum[pos-1]大，也就是说在rounds轮中吃少了，我们需要将多出部分分到rounds轮中。怎么将多出部分分到rounds轮中？具体分法我们可以不用管，但是我们发现，若left - pre_sum[pos-1] 大于 rounds*(max_sum - min_sum)，即之前都吃最大时，仍有剩余，则派蒙一定不会刷盘子。

具体实现代码如下：

#include<algorithm>
#include<vector>
#include<stack>
#include<unordered_map>
#include<iostream>
#include<unordered_set>
#include<cstring>
#include<set>
#include<map>
#include<queue>
#include<ctype.h>
#define MAX 111111

const int MOD = 1e9;
using namespace std;

typedef long long int ll;

ll arr[MAX];
ll pre_sum[MAX];

ll left_low;
ll left_high;

int n,k,t,pos;

void print();
int main(void)
{
	int i;
	cin >> t;

	while(t--)
	{
		pos = 1;
		cin >> n >> k;
		for(i=1; i<=n; ++i)
		{
			cin >> arr[i];
			if(arr[i] > arr[pos])
				pos = i;
			pre_sum[i] = arr[i] + pre_sum[i-1];
		}

		left_low = pos-1;  //派蒙刷盘子的最小值
		left_high = pre_sum[pos-1];   //派蒙刷盘子的最大值
		print();	
	}

	return 0;
}

void print()
{
	ll min_sum = n-1+arr[pos]; //该队能吃的最小值
	ll max_sum = pre_sum[n];   //该队能吃的最大值

	ll rounds = k/min_sum; //最多rounds轮
	ll left  = k%min_sum; //剩余量
	ll temp = 0;
	ll max_minus = 0;

	while(1)  //循环判断每一次left
	{
		if(left>= left_low && left<= left_high) 
		{
			printf("YES\n");
			return;
		}

		if(left > left_high) 
		{
			temp = left - left_high;
			max_minus = rounds*(max_sum - min_sum);	//之前均吃最大
			if(temp > max_minus) // 若之前均吃最大值后，仍有剩余
			{
				printf("NO\n");
				return;
			}
		}

		if(left < left_low)
		{
			if(!rounds) //若rounds为零，left仍小于left_low
			{
				printf("NO\n");
				return;
			}

			left += min_sum;
			--rounds;
		}
	}

	return;
}

以上若有错误，请告知作者。感激不尽!