lightoj1278

本文详细解析 LightOJ 1278 的解题思路,通过数学推导得出结论:要求数n能由连续正整数之和表示的方法数,即求n的奇数因子个数,并提出一种O(nlogn)的解法,适用于竞赛编程。

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  • 题目
  • 题意
  • 分析
    n=a1+a2+...+amn = a_1+a_2+...+a_mn=a1+a2+...+am表示nnn可以由这mmm相加得到。
    n=m∗a1+a1+m−12n = m * {\frac{a_1+a_1+m-1}{2}}n=m2a1+a1+m1
    化简得:a1=nm−m−12a_1 = {\frac{n}{m}}-{\frac{m-1}{2}}a1=mn2m1
    因为是连续的数相加每个在1∼n1{\sim}n1n中的数作为起点只会产生111个贡献。
    又因为a1,n,ma_1,n,ma1n,m是整数,所以由m−12{\frac{m-1}{2}}2m1mmm是奇数。
    nm\frac{n}{m}mn知,mmmnnn的因子。综上mmmnnn的奇因子。
    所以答案ansansans∏i=2k(ci+1){\prod}_{i=2}^{k}(c_i+1)i=2k(ci+1)(除了偶因子222)
    最后答案还要减111,去除m=1m =1m=1的情况。
  • 代码
/*
  独立思考
  一个题不会做,收获5%,写了代码10%,提交对了30%,总结吃透了这个题才是100%.
*/
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
template <typename T>
void read(T &x)
{
	x = 0;
	char c = getchar();
	int sgn = 1;
	while (c < '0' || c > '9') {if (c == '-')sgn = -1; c = getchar();}
	while (c >= '0' && c <= '9')x = x * 10 + c - '0', c = getchar();
	x *= sgn;
}
template <typename T>
void out(T x)
{
	if (x < 0) {putchar('-'); x = -x;}
	if (x >= 10)out(x / 10);
	putchar(x % 10 + '0');
}
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
ll gcd(ll a, ll b) { return b ? gcd(b, a % b) : a;}
const int N = 1e7 + 5;
int prime[N / 10], tot = 0;
bool is_prime[N];
int flag = 0;
void sieve()
{
	for (int i = 1; i <= N; i++) is_prime[i] = 1;
	is_prime[0] = is_prime[1] = 0;
	for (int i = 2; i <= N; i++)
	{
		if (is_prime[i])
		{
			prime[++tot] = i;
			for (int j = 2 * i; j <= N; j += i) is_prime[j] = 0;
		}
	}
}
void solve(ll n)
{
	ll ans = 1;
	while (n % 2 == 0) n /= 2;
	for (int i = 1; i <= tot && prime[i] * prime[i] <= n; i++)
	{
		if (n % prime[i] == 0)
		{
			int c = 0;
			while (n % prime[i] == 0)
			{
				n /= prime[i];
				c ++;
			}
			ans *= (c + 1);
		}
	}
	if (n != 1) ans *= 2;
	printf("Case %d: %lld\n", ++flag, ans - 1);
}
int main ()
{
	int t;
	read(t);
	sieve();
	while (t--)
	{
		ll n;
		read(n);
		solve(n);
	}
	return 0 ;
}
  • 方法
    唯一分解定理
  • 总结
    想了一个O(nlogn)O(nlogn)O(nlogn)的做法
    对于nnn来说只有n2{\frac{n}{2}}2n个数才能够成为连加的起点。枚举起点,对于每个起点判断是否存在一个终点,它们之间的和相加为nnn,可以前缀和二分。所以总的时间复杂度为O(nlogn)O(nlogn)O(nlogn).
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