MATH2070/2970: Optimisation and Financial Mathematics Semester 2 2024R

Java Python MATH2070/2970: Optimisation and Financial Mathematics

Semester 2, 2024

Data provided

The file project_data .csv is a comma-separated text file containing the stock prices from 1 July 2022 to 30 June 2024 (inclusive) for the largest 10 companies listed on the Australian Stock Exchange (ASX) by market capitalisation (i.e. total value of stocks):

• BHP — BHP Group Ltd, a mining company (mostly coal, copper, iron ore and oil)

•  CBA — Commonwealth Bank of Australia, aretail bank (manages savings, offers business loans, mortgages, credit cards, etc)

•  CSL — CSL Ltd, a biotechnology company (manufactures vaccines, antivenoms, etc)

• NAB — National Australia Bank, another retail bank

• WBC — Westpac Banking Corporation, another retail bank

• ANZ — ANZ Group Holdings Ltd, another retail bank

•  MQG — Macquarie Group Ltd, an investment bank (manages investments for other people and institutions, also offers some retail banking)

• WES — Wesfarmers Ltd, a big-box retail group (runs Officeworks, Bunnings, Kmart, ...)

•  GMG — Goodman Group, a commercial real-estate company (owns and manages warehouses, business parks, etc)

• FMG — Fortescue Metals Group, a mining company (primarily iron ore)

The stock prices are the end-of-day prices, adjusted to exclude the impact of corporate events (like payments of dividends) which affect the stated share price but do not reflect trading activity.

Questions

1. For each of the 10 stocks, compute their simple returns on day t. Calculate the mean and covariance matrix for the returns to 6 decimal places, and confirm they are

and

Use the above rounded values of r and C for the remainder of the project.

2. Find the optimal portfolio x(t) for investors with risk-aversion parameter t (i.e. your answer should be a function of t).

Which assets will never be short-sold by risk-averse investors?

3. Consider a specific investor with risk aversion parameter t = 0.06 who wants to invest $100,000 in these assets.

(a)  What is their optimal investment allocation, mean return and risk (standard deviation) of their investment?  Give all answers in $.

(b) (MATH2070 only:) Suppose now the investor does not want to short sell  any asset. Use SciPy minimize (with a tolerance tol  =  1e-15) to find their optimal portfolio, mean return and risk (standard deviation). Again, give all answers in $.

Show that the portfolio obtained using SciPy is the optimal portfolio (possibly up to a small error) by verifying that it  MATH2070/2970: Optimisation and Financial Mathematics Semester 2, 2024R is a KKT point of the log-utility optimisation problem. Be aware: there will be a small numerical error that you must allow for in checking, e.g., that quantities equal zero, are non-negative, etc.

4. Illustrate this problem graphically: in the (σ,µ) plane, show (on the same graph):

(i)   The 10 assets

(ii)  The optimal (unconstrained) portfolio for the investor from Question 3(a)

(iii)  The minimum risk portfolio

(iv)  The efficient frontier and minimum variance frontier

You should format the plot with appropriate labels, etc.  I recommend using the axis ranges σ ∈ [0.005, 0.025] and µ ∈ [−0.0005, 0.002], but you may choose other values if you prefer.

5. Suppose now that the market also has a risk-free cash asset with return 0.00015 (which works out to around 3.8% annually, close to the current Australian bond rate).

(a)  What is the new optimal portfolio for the investor from Question 3 (with short selling allowed)? Is this a borrowing or lending portfolio?

(b)  In a new plot, show in the (σ,µ) plane:

(i)  The items from Question 4

(ii)  The optimal unconstrained portfolio for the investor with a risk-free asset  (Ques- tion 5a)

(iii)  The market portfolio

(iv)  The capital market line

I recommend you use axis range σ  ∈ [0, 0.025] for this plot, but you may choose other values if you prefer.

6. For this question, take the market portfolio to be the relative market capitalisations of the 10 stocks:

xM  = [0.191, 0.187, 0.116, 0.095, 0.088, 0.075, 0.072, 0.065, 0.06, 0.051].

(a)   Compute the betas of the 10 underlying stocks.

(b)  With reference to the underlying businesses, explain why the betas of CSL and MQG are so different. Your answer should be brief, at most 1 paragraph.

7. (MATH2970 only:)

(a)  Randomly generate 10000 feasible portfolios (according to what you think is a reasonable distribution) and plot them on the chart in Question 4.

(b)  Unless you have made a very informed choice of distribution, you will see that the portfolios do not fill up to the minimum variance frontier.  This is a result of the high dimensionality of the set of portfolios (10 stocks - 1 equality constraint = 9 degrees of freedom).

Generate 1 million feasible portfolios in the same fashion, and compute the (vector Eu- clidean) distance di  between each portfolio and the minimum risk portfolio.

On a log-log graph, plot P(di  < δ) against δ ∈ [0.1, 10], and show graphically that the rate of decay as δ → 0 is like a high-degree polynomial (theoretically, it should be δ−9).

Use this, and the fact that the minimum risk portfolio is the unique global minimum for risk, to explain why there are very few randomly generated portfolios close to that of the minimum risk portfolio on the mean return–risk graph.

(c)  Randomly generate 10000 feasible portfolios that are close to the minimum risk portfolio, and plot them on the chart in Question 4         

内容概要:文章详细介绍了电梯门禁(梯控)系统的硬件安装与接线要点。首先强调了梯控板与楼层按键对接的重要性,包括遵循一一对应原则以避免错层、越层问题,允许空层存在以适应实际需求。接着阐述了不同接线方式(COM、NO、NC端口的不同组合)对用户权限的影响,如单层权限用户刷卡直达指定楼层,多层权限用户在特定接线方式下的操作限制。硬件安装方面,强调了无源干触点设计原则以确保电气隔离,防止系统间干扰,以及读卡器接入时的规范要求。文章还介绍了梯控系统的技术原理,如身份验证机制(二维码/IC卡/人脸识别)、消防联动功能(紧急情况下释放所有楼层权限),并指出该系统适用于小区、写字楼等场景,支持机器人乘梯SDK扩展。最后,根据不同场景需求提出了适用的接线方式选择,如严格管控场景下选择4.3接线以实现精准权限控制,限制多层用户手动选层场景下选择4.1接线并配合软件权限设置。; 适合人群:从事电梯安装维护的技术人员、楼宇自动化工程师及相关领域的管理人员。; 使用场景及目标:①指导技术人员正确安装和接线梯控系统,确保系统安全稳定运行;②帮助管理人员了解不同接线方式对用户权限的影响,以便根据实际需求选择合适的配置方案;③提升楼宇安全管理和服务质量,特别是在小区、写字楼等场所的应用。; 其他说明:梯控系统的正确安装和接线不仅关系到系统的正常运作,更直接影响到用户的安全和使用体验。因此,在实际操作中务必严格按照规范执行,同时关注最新的技术发展和应用场景变化,以确保系统始终处于最佳状态。
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