位运算题目：位 1 的个数

题目

标题和出处

标题：位 1 的个数

出处：191. 位 1 的个数

难度

2 级

题目描述

要求

编写一个函数，输入是一个无符号整数，返回其二进制表示中等于 $\text{1}$ 的位数（也被称为汉明重量）。

说明：

• 某些语言如 Java 没有无符号整数类型。在这种情况下，输入和输出都将被指定为有符号整数类型，并且不应影响实现，因为无论整数是有符号的还是无符号的，其内部的二进制表示形式都是相同的。
• 在 Java 中，编译器使用二进制补码记法来表示有符号整数。因此，示例 3 的输入表示有符号整数 $\text{-3}$。

示例

示例 1：

输入：$\text{n = 00000000000000000000000000001011}$
输出：$\text{3}$
解释：输入的二进制串 $\text{00000000000000000000000000001011}$ 中有三位为 $\text{1}$。

示例 2：

输入：$\text{n = 00000000000000000000000010000000}$
输出：$\text{1}$
解释：输入的二进制串 $\text{00000000000000000000000010000000}$ 中有一位为 $\text{1}$。

示例 3：

输入：$\text{n = 11111111111111111111111111111101}$
输出：$\text{31}$
解释：输入的二进制串 $\text{11111111111111111111111111111101}$ 中有 $\text{31}$ 位为 $\text{1}$。

数据范围

• 输入必须是长度为 $\text{32}$ 的二进制串

进阶

如果多次调用这个函数，应该如何优化？

前言

这道题要求返回给定的整数 $n$ 的二进制表示中的 $1$ 的个数。部分编程语言有自带的方法或函数可以实现该功能，例如 Java 的 $\text{Integer.bitCount}$。

面试的时候，面试官不会允许直接调用编程语言自带的方法或函数得到给定整数的二进制表示中的 $1$ 的个数，而是期望看到面试者使用位运算实现该功能。

解法一

思路和算法

最直观的做法是依次遍历 $n$ 的二进制表示的每一位，判断是否等于 $1$，遍历结束之后即可得到 $n$ 的二进制表示中的 $1$ 的个数。

实现方面，由于每个数位 $1$ 使结果加 $1$，每个数位 $0$ 不会改变结果，因此可以将二进制表示的每一位 $1$ 或 $0$ 加到结果中。

代码

public class Solution {
    public int hammingWeight(int n) {
        final int BITS = 32;
        int ones = 0;
        for (int i = 0; i < BITS; i++) {
            ones += (n >> i) & 1;
        }
        return ones;
    }
}

复杂度分析

• 时间复杂度：$O(k)$，其中 $k$ 是整型的二进制位数，$k=32$。需要遍历整数 $n$ 的二进制表示的全部 $32$ 位。

• 空间复杂度：$O(1)$。

解法二

思路和算法

解法一的时间复杂度与 $n$ 无关，对于任意整数都需要遍历其二进制表示的全部数位。一种时间复杂度更低的解法是 Brian Kernighan 算法，时间复杂度是 $O(\log n)$。

Brian Kernighan 算法的原理是：对于任意整数 $n$，$n\&(n-1)$ 的结果是将 $n$ 的二进制表示的最后一个 $1$ 变成 $0$ 之后的整数，即 $n\&(n-1)$ 的二进制表示中的 $1$ 的个数比 $n$ 的二进制表示中的 $1$ 的个数少 $1$ 个。对于给定的整数 $n$，计算 $n\&(n-1)$ 的值并将 $n$ 的值更新为该值，直到 $n$ 变成 $0$，则操作次数为 $n$ 的二进制表示中的 $1$ 的个数。

代码

public class Solution {
    public int hammingWeight(int n) {
        int ones = 0;
        while (n != 0) {
            n &= n - 1;
            ones++;
        }
        return ones;
    }
}

复杂度分析

• 时间复杂度：$O(\log n)$，其中 $n$ 是给定的整数。Brian Kernighan 算法的时间复杂度是 $O(\log n)$。

• 空间复杂度：$O(1)$。

解法三

思路和算法

Brian Kernighan 算法的时间复杂度 $O(\log n)$ 仍然不是最优，这道题存在时间复杂度更低的分治解法。

将整数 $n$ 看成二进制位 $1$ 的个数的表示形式，初始时 $n$ 分成 $32$ 组，每组有 $1$ 位，表示该组二进制位 $1$ 的个数。当 $n$ 的分组个数大于 $1$ 时，每次将 $n$ 的相邻两组合并，合并后每组中的数表示该组二进制位 $1$ 的个数，直到 $n$ 的分组个数等于 $1$ 时结束。分组情况具体变化如下。

1. $16$ 组，每组有 $2$ 位。

2. $8$ 组，每组有 $4$ 位。

3. $4$ 组，每组有 $8$ 位。

4. $2$ 组，每组有 $16$ 位。

5. $1$ 组，每组有 $32$ 位。

由于 $k$ 位二进制数可以表示的最大值是 $2^k-1$，对于任意正整数 $k$ 都有 $k\le 2^k-1$，因此可以使用 $k$ 位的分组表示 $k$ 位中位 $1$ 的个数。

将 $1$ 位分组合并成 $2$ 位分组时，由于 $2$ 位二进制数的可能取值有 $00$、$01$、$10$、$11$，对应的位 $1$ 个数的二进制表示分别是 $00$、$01$、$01$、$10$，因此 $2$ 位二进制数 $x$ 的位 $1$ 个数是 $x-(x>>1)$。对于整数 $n$，在计算 $n-(n>>1)$ 时，为了避免跨组运算对结果的影响，每组 $2$ 位二进制数只保留低位，因此需要将 $n>>1$ 和 $55555555_{(16)}$（十六进制数）做按位与运算。合并之后，$n$ 的值变成 $n-((n>>1)\&55555555_{(16)})$。

将 $2$ 位分组合并成 $4$ 位分组时，需要将每对相邻的 $2$ 位分组的值相加得到 $4$ 位分组的值。对于需要合并的相邻两对 $2$ 位分组，将 $4$ 位二进制数记为 $x$，则合并后的 $4$ 位分组是 $x$ 的最低 $2$ 位与 $x$ 的最高 $2$ 位之和，因此合并后的 $4$ 位分组是 $(x\&3)+((x>>2)\&3)$。合并之后，$n$ 的值变成 $(n\&33333333_{(16)})+((n>>2)\&33333333_{(16)})$。

后续合并过程相似。

• 将 $4$ 位分组合并成 $8$ 位分组之后，$n$ 的值变成 $(n+(n>>4))\&{\text{0f0f0f0f}}_{(16)}$。

• 将 $8$ 位分组合并成 $16$ 位分组之后，$n$ 的值变成 $(n+(n>>8))\&{\text{00ff00ff}}_{(16)}$。

• 将 $16$ 位分组合并成 $32$ 位分组之后，$n$ 的值变成 $(n+(n>>16))\&{\text{0000ffff}}_{(16)}$。

此时 $n$ 的分组个数等于 $1$，$n$ 即为答案。

Java 的 $\text{Integer.bitCount}$ 的实现原理即为上述计算方式，只是细节有所不同。Java 的 $\text{Integer.bitCount}$ 的实现中，将 $8$ 位分组合并成 $16$ 位分组以及将 $16$ 位分组合并成 $32$ 位分组的过程中没有按位与运算的操作，而是在最后计算 $n\&{\text{3f}}_{(16)}$，该结果和上述计算方式是等价的。由于原始的 $n$ 的位 $1$ 的个数最多是 $32$，即不会超过 $6$ 位二进制数，因此这两步合并过程的按位与运算可以用最后一步按位与运算代替。

由于 Java 没有无符号整数类型，因此在实现方面，上述右移运算应使用逻辑右移。

对于 $k$ 位二进制数，$k=O(\log n)$，分治解法的分组合并操作共需要 $O(\log k)$ 次，每次分组合并操作的时间都是 $O(1)$，因此分治解法的时间复杂度是 $O(\log k)=O(\log \log n)$，优于 Brian Kernighan 算法的时间复杂度 $O(\log n)$。

代码

public class Solution {
    public int hammingWeight(int n) {
        n = n - ((n >>> 1) & 0x55555555);
        n = (n & 0x33333333) + ((n >>> 2) & 0x33333333);
        n = (n + (n >>> 4)) & 0x0f0f0f0f;
        n = (n + (n >>> 8)) & 0x00ff00ff;
        n = (n + (n >>> 16)) & 0x0000ffff;
        return n;
    }
}

复杂度分析

• 时间复杂度：$O(\log \log n)$，其中 $n$ 是给定的整数。

• 空间复杂度：$O(1)$。