二分查找题目：乘法表中第 k 小的数

题目

标题和出处

标题：乘法表中第 k 小的数

出处：668. 乘法表中第 k 小的数

难度

7 级

题目描述

要求

几乎每一个人都使用过乘法表。大小为 $\text{m}\times \text{n}$ 的乘法表是一个整数矩阵 $\text{mat}$，其中 $\text{mat[i][j]}=\text{i}\times \text{j}$（下标从 $\text{1}$ 开始）。

给定三个整数 $\text{m}$、$\text{n}$ 和 $\text{k}$，返回 $\text{m}\times \text{n}$ 的乘法表中的第 $\text{k}$ 小的元素。

示例

示例 1：

输入：$\text{m = 3, n = 3, k = 5}$
输出：$\text{3}$
解释：第 $\text{5}$ 小的数字是 $\text{3}$。

示例 2：

输入：$\text{m = 2, n = 3, k = 6}$
输出：$\text{6}$
解释：第 $\text{6}$ 小的数字是 $\text{6}$。

数据范围

• $\text{1}\le \text{m, n}\le \text{3}\times {\text{10}}^{\text{4}}$
• $\text{1}\le \text{k}\le \text{m}\times \text{n}$

解法

思路和算法

计算 $m\times n$ 的乘法表中的第 $k$ 小的数，最朴素方法是生成完整的乘法表，然后遍历乘法表寻找第 $k$ 小的数。由于 $m$ 和 $n$ 的最大值是 $3\times 10^4$，因此乘法表中最多有 $9\times 10^8$ 个数，该数据规模下生成乘法表的做法是不可行的，必须使用时间复杂度更低的做法。

考虑范围 $[1,mn]$ 中的整数 $x$，$x$ 不一定在乘法表中。如果乘法表中小于等于 $x$ 的数至少有 $k$ 个，则乘法表中第 $k$ 小的数小于等于 $x$；如果乘法表中小于等于 $x$ 的数少于 $k$ 个，则乘法表中第 $k$ 小的数大于 $x$。因此，这道题是二分查找判定问题，需要找到最小的整数 $x$ 使得乘法表中小于等于 $x$ 的数至少有 $k$ 个。

用 $\text{low}$ 和 $\text{high}$ 分别表示二分查找的下界和上界。由于 $1\le k\le mn$，乘法表中第 $k$ 小的数一定在范围 $[1,mn]$ 中，因此 $\text{low}$ 的初始值等于 $1$，$\text{high}$ 的初始值等于 $mn$。

当正整数 $x$ 已知时，为了计算 $m\times n$ 的乘法表中小于等于 $x$ 的数的个数，需要计算乘法表的每一行中小于等于 $x$ 的数的个数。假设乘法表的列数无限，乘法表的第 $i$ 行中的每个数都是 $i$ 的倍数，第 $i$ 行中小于等于 $x$ 的数的个数是 $\lfloor \frac{x}{i}\rfloor$。考虑到乘法表有 $n$ 列，第 $i$ 行中小于等于 $x$ 的数的个数不超过 $n$。因此乘法表的第 $i$ 行中小于等于 $x$ 的数的个数是 $\min (\lfloor \frac{x}{i}\rfloor ,n)$。在计算乘法表的每一行中小于等于 $x$ 的数的个数之后，即可得到乘法表中小于等于 $x$ 的数的个数。

每次查找时，取 $\text{mid}$ 为 $\text{low}$ 和 $\text{high}$ 的平均数向下取整，计算 $m\times n$ 的乘法表中小于等于 $\text{mid}$ 的数的个数，执行如下操作。

• 如果乘法表中小于等于 $\text{mid}$ 的数的个数至少有 $k$ 个，则乘法表中第 $k$ 小的数小于等于 $\text{mid}$，因此在 $[\text{low},\text{mid}]$ 中继续查找。

• 如果乘法表中小于等于 $\text{mid}$ 的数的个数少于 $k$ 个，则乘法表中第 $k$ 小的数大于 $\text{mid}$，因此在 $[\text{mid}+1,\text{high}]$ 中继续查找。

当 $\text{low}=\text{high}$ 时，查找结束，此时 $\text{low}$ 即为乘法表中第 $k$ 小的数。

执行二分查找的次数是 $O(\log (mn))$，每次二分查找需要 $O(m)$ 的时间计算小于等于特定值的数的个数，因此总时间复杂度是 $O(m\log (mn))$。

实现方面，由于将 $m\times n$ 的乘法表转置之后即可得到 $n\times m$ 的乘法表，因此当 $m>n$ 时，可以在转置后的乘法表中寻找第 $k$ 小的数，将时间复杂度从 $O(m\log (mn))$ 降到 $O(n\log (mn))$。

代码

class Solution {
    public int findKthNumber(int m, int n, int k) {
        if (m > n) {
            int temp = m;
            m = n;
            n = temp;
        }
        int low = 1, high = m * n;
        while (low < high) {
            int mid = low + (high - low) / 2;
            int rank = getRank(mid, m, n);
            if (rank >= k) {
                high = mid;
            } else {
                low = mid + 1;
            }
        }
        return low;
    }

    public int getRank(int num, int m, int n) {
        int rank = 0;
        for (int i = 1; i <= m; i++) {
            rank += Math.min(num / i, n);
        }
        return rank;
    }
}

复杂度分析

• 时间复杂度：$O(\min (m,n)\log (mn))$，其中 $m$ 和 $n$ 分别是乘法表的行数和列数。需要执行 $O(\log (mn))$ 次二分查找，每次二分查找需要 $O(\min (m,n))$ 的时间计算小于等于特定值的数的个数，时间复杂度是 $O(\min (m,n)\log (mn))$。

• 空间复杂度：$O(1)$。