二分查找题目：寻找旋转排序数组中的最小值 II

题目

标题和出处

标题：寻找旋转排序数组中的最小值 II

出处：154. 寻找旋转排序数组中的最小值 II

难度

6 级

题目描述

要求

已知一个长度为 $\text{n}$ 的数组预先按照升序排序，经过 $\text{1}$ 到 $\text{n}$ 次旋转。例如，原数组 $\text{nums = [0,1,4,4,5,6,7]}$ 在变化后可能得到：

• 若旋转 $\text{4}$ 次，则可以得到 $\text{[4,5,6,7,0,1,4]}$。
• 若旋转 $\text{7}$ 次，则可以得到 $\text{[0,1,4,4,5,6,7]}$。

注意，数组 $\text{[a[0], a[1], a[2], ..., a[n-1]]}$ 旋转一次的结果为数组 $\text{[a[n-1], a[0], a[1], a[2], ..., a[n-2]]}$。

给定一个可能存在重复元素的旋转后的排序数组 $\text{nums}$，返回数组中的最小元素。

要求尽可能减少总操作次数。

示例

示例 1：

输入：$\text{nums = [1,3,5]}$
输出：$\text{1}$

示例 2：

输入：$\text{nums = [2,2,2,0,1]}$
输出：$\text{0}$

数据范围

• $\text{n}=\text{nums.length}$
• $\text{1}\le \text{n}\le \text{5000}$
• $\text{-5000}\le \text{nums[i]}\le \text{5000}$
• $\text{nums}$ 是一个升序排序的数组进行了 $\text{1}$ 至 $\text{n}$ 次旋转后的数组

进阶

这道题和「寻找旋转排序数组中的最小值」相似，但是 $\text{nums}$ 可能包含重复元素。这会影响到时间复杂度吗？会如何影响，为什么？

解法

思路和算法

这道题是「寻找旋转排序数组中的最小值」的进阶，给定的数组 $\text{nums}$ 中可能包含重复元素。这道题也可以使用二分查找的思想，但是由于数组中可能存在重复元素，因此无法保证达到二分查找的时间复杂度。

为了寻找旋转排序数组中的最小值，需要得到旋转排序数组中的最小值所在下标。

对于长度为 $n$ 的升序数组，如果旋转次数等于 $n$ 则与旋转前的数组相同，此时最小值位于下标 $0$。如果旋转次数小于 $n$ 则旋转 $i$ 次之后最小值位于下标 $i$。当最小值位于下标 $i$ 且 $0<i<n-1$ 时，下标 $i$ 左侧的任意整数一定大于等于下标 $i$ 右侧的任意整数。

用 $\text{low}$ 和 $\text{high}$ 分别表示二分查找的下标范围的下界和上界，初始时 $\text{low}$ 和 $\text{high}$ 分别为数组的最小下标和最大下标。每次查找时，$[\text{low},\text{high}]$ 可能是一个有序子数组或者两个有序子数组。

如果 $\text{nums}[\text{low}]<\text{nums}[\text{high}]$，则 $[\text{low},\text{high}]$ 一定是一个有序子数组，下标 $\text{low}$ 处的整数就是最小值。

如果 $\text{nums}[\text{low}]\ge \text{nums}[\text{high}]$，则 $[\text{low},\text{high}]$ 可能是一个有序子数组或者两个有序子数组，其中只有当 $\text{nums}[\text{low}]=\text{nums}[\text{high}]$ 时 $[\text{low},\text{high}]$ 才可能是一个有序子数组，此时需要在范围 $[\text{low},\text{high}]$ 中寻找最小值所在下标。取 $\text{mid}$ 为 $\text{low}$ 和 $\text{high}$ 的平均数向下取整，得到下标 $\text{mid}$ 处的数，判断该数位于哪一个有序子数组中，调整查找的下标范围。

• 如果 $\text{nums}[\text{low}]=\text{nums}[\text{mid}]=\text{nums}[\text{high}]$，则无法确定两个有序子数组的分界位置（即第二个有序子数组的开始下标）是在 $\text{mid}$ 处、$\text{mid}$ 的左边还是 $\text{mid}$ 的右边，此时无法将查找的下标范围缩小一半，因此在下标范围 $[\text{low}+1,\text{high}-1]$ 中继续查找。

• 如果 $\text{nums}[\text{mid}]<\text{nums}[\text{low}]$，则下标 $\text{mid}$ 位于以下标 $\text{high}$ 结束的有序子数组中，最小值位于下标 $\text{mid}$ 或其左边，因此在下标范围 $[\text{low},\text{mid}]$ 中继续查找。

• 如果 $\text{nums}[\text{mid}]\ge \text{nums}[\text{low}]$，则下标 $\text{mid}$ 位于以下标 $\text{low}$ 开始的有序子数组中，最小值位于下标 $\text{mid}$ 右边，因此在下标范围 $[\text{mid}+1,\text{high}]$ 中继续查找。

二分查找的条件是 $\text{low}<\text{high}$ 且 $\text{nums}[\text{low}]\ge \text{nums}[\text{high}]$，当该条件不成立时，二分查找结束，此时的 $\text{low}$ 即为最小值所在下标。理由如下。

• 如果 $\text{low}<\text{high}$ 不成立，则 $\text{low}=\text{high}$，此时二分查找的范围仅限于一个下标。由于被排除的下标都不可能是最小值所在下标，因此 $\text{low}$ 为最小值所在下标。

• 如果 $\text{nums}[\text{low}]\ge \text{nums}[\text{high}]$ 不成立，则 $\text{nums}[\text{low}]<\text{nums}[\text{high}]$，范围 $[\text{low},\text{high}]$ 中的最小元素位于下标 $\text{low}$。由于被排除的下标都不可能是最小值所在下标，因此 $\text{low}$ 为最小值所在下标。

代码

class Solution {
    public int findMin(int[] nums) {
        int low = 0, high = nums.length - 1;
        while (low < high && nums[low] >= nums[high]) {
            int mid = low + (high - low) / 2;
            if (nums[low] == nums[mid] && nums[high] == nums[mid]) {
                low++;
                high--;
            } else if (nums[mid] < nums[low]) {
                high = mid;
            } else {
                low = mid + 1;
            }
        }
        return nums[low];
    }
}

复杂度分析

• 时间复杂度：平均情况是 $O(\log n)$，最差情况是 $O(n)$，其中 $n$ 是数组 $\text{nums}$ 的长度。平均情况下，二分查找的次数是 $O(\log n)$，每次查找的时间是 $O(1)$，时间复杂度是 $O(\log n)$。最差情况下，数组 $\text{nums}$ 中的所有元素都相等，此时需要遍历整个数组。

• 空间复杂度：$O(1)$。