二分查找题目：在 D 天内送达包裹的能力

题目

标题和出处

标题：在 D 天内送达包裹的能力

出处：1011. 在 D 天内送达包裹的能力

难度

5 级

题目描述

要求

传送带上的包裹必须在 $\text{days}$ 天内从一个港口运送到另一个港口。

传送带上的第 $\text{i}$ 个包裹的重量为 $\text{weights[i]}$。每一天，我们都会按给出重量（$\text{weights}$）的顺序往传送带上装载包裹。我们装载的重量不能超过船的最大运载重量。

返回能在 $\text{days}$ 天内将传送带上的所有包裹送达的船的最低运载能力。

示例

示例 1：

输入：$\text{weights = [1,2,3,4,5,6,7,8,9,10], days = 5}$
输出：$\text{15}$
解释：船舶最低载重 $\text{15}$ 就能够在 $\text{5}$ 天内送达所有包裹，如下所示：
第 $\text{1}$ 天：$\text{1, 2, 3, 4, 5}$
第 $\text{2}$ 天：$\text{6, 7}$
第 $\text{3}$ 天：$\text{8}$
第 $\text{4}$ 天：$\text{9}$
第 $\text{5}$ 天：$\text{10}$
请注意，货物必须按照给定的顺序装运，因此使用载重能力为 $\text{14}$ 的船舶并将包装分成 $\text{(2, 3, 4, 5), (1, 6, 7), (8), (9), (10)}$ 是不允许的。

示例 2：

输入：$\text{weights = [3,2,2,4,1,4], days = 3}$
输出：$\text{6}$
解释：船舶最低载重 $\text{6}$ 就能够在 $\text{3}$ 天内送达所有包裹，如下所示：
第 $\text{1}$ 天：$\text{3, 2}$
第 $\text{2}$ 天：$\text{2, 4}$
第 $\text{3}$ 天：$\text{1, 4}$

示例 3：

输入：$\text{weights = [1,2,3,1,1], days = 4}$
输出：$\text{3}$
解释：
第 $\text{1}$ 天：$\text{1}$
第 $\text{2}$ 天：$\text{2}$
第 $\text{3}$ 天：$\text{3}$
第 $\text{4}$ 天：$\text{1, 1}$

数据范围

• $\text{1}\le \text{days}\le \text{weights.length}\le \text{5}\times {\text{10}}^{\text{4}}$
• $\text{1}\le \text{weights[i]}\le \text{500}$

解法

思路和算法

为方便表述，下文使用「最低运载能力」表示能在 $\text{days}$ 天内将传送带上的所有包裹送达的船的最低运载能力。

如果实际运载能力大于等于最低运载能力，则将传送带上的所有包裹送达需要的天数小于等于 $\text{days}$；如果实际运载能力小于最低运载能力，则将传送带上的所有包裹送达需要的天数大于 $\text{days}$。因此，这道题是二分查找判定问题，需要找到最低运载能力。

用 $\text{low}$ 和 $\text{high}$ 分别表示二分查找的下界和上界。由于同一个包裹必须在一次内运载，不能分成多次运载，因此最低运载能力不能小于最重的包裹，$\text{low}$ 的初始值等于 $\text{weights}$ 中的最大值；由于至少运载一次，装载的总重量最大为所有包裹的重量之和，因此 $\text{high}$ 的初始值等于 $\text{weights}$ 中的元素之和。

为了能在规定的天数内将传送带上的所有包裹送达，当运载能力确定时，每次装载应在不超过运载能力的前提下将装载的重量最大化。由于必须按照给定的顺序装载包裹，因此当给定包裹重量数组和运载能力时，可以遍历数组计算将传送带上的所有包裹送达需要的天数。计算方法是遍历数组 $\text{weights}$ 计算包裹重量之和，如果包裹重量之和大于运载能力则将最后一个包裹移到后一天的装载中，遍历结束时即可得到总天数。

每次查找时，取 $\text{mid}$ 为 $\text{low}$ 和 $\text{high}$ 的平均数向下取整，将 $\text{mid}$ 作为运载能力，判断是否可以在 $\text{days}$ 天内将传送带上的所有包裹送达，执行如下操作。

• 如果以运载能力 $\text{mid}$ 可以在 $\text{days}$ 天内将传送带上的所有包裹送达，则最低运载能力小于等于 $\text{mid}$，因此在 $[\text{low},\text{mid}]$ 中继续查找。

• 如果以运载能力 $\text{mid}$ 不能在 $\text{days}$ 天内将传送带上的所有包裹送达，则最低运载能力大于 $\text{mid}$，因此在 $[\text{mid}+1,\text{high}]$ 中继续查找。

当 $\text{low}=\text{high}$ 时，查找结束，此时 $\text{low}$ 即为最低运载能力。

实现方面，由于只需要判断是否可以在 $\text{days}$ 天内将传送带上的所有包裹送达，因此如果遍历尚未结束时总天数就已经大于 $\text{days}$，则一定不能在 $\text{days}$ 天内将传送带上的所有包裹送达，此时可以提前返回，不需要计算总天数。

代码

class Solution {
    public int shipWithinDays(int[] weights, int days) {
        int low = Arrays.stream(weights).max().getAsInt(), high = Arrays.stream(weights).sum();
        while (low < high) {
            int mid = low + (high - low) / 2;
            if (canShip(weights, days, mid)) {
                high = mid;
            } else {
                low = mid + 1;
            }
        }
        return low;
    }

    public boolean canShip(int[] weights, int days, int capacity) {
        int totalDays = 1;
        int totalWeight = 0;
        int length = weights.length;
        for (int i = 0; i < length; i++) {
            int weight = weights[i];
            if (totalWeight + weight <= capacity) {
                totalWeight += weight;
            } else {
                totalDays++;
                if (totalDays > days) {
                    return false;
                }
                totalWeight = weight;
            }
        }
        return true;
    }
}

复杂度分析

• 时间复杂度：$O(n\log s)$，其中 $n$ 是数组 $\text{weights}$ 的长度，$s$ 是数组 $\text{weights}$ 中的元素之和。需要执行 $O(\log s)$ 次二分查找，每次二分查找需要 $O(n)$ 的时间遍历数组 $\text{weights}$ 并计算将传送带上的所有包裹送达的总天数，时间复杂度是 $O(n\log s)$。

• 空间复杂度：$O(1)$。