最小生成树

定义：一个有n个结点的连通图的生成树是原图的极小连通子图，且包含原图中的所有 n 个结点，并且有保持图连通的最少的边。

最小生成树性质：设G=(V，E）是一个连通网络，U是顶点集V的一个非空真子集。若(u，v）是G中一条“一个端点在U中（例如：u∈U），另一个端点不在U中的边（例如：v∈V-U），且（u，v）具有最小权值，则一定存在G的一棵最小生成树包括此边（u，v）。

用反证法证明MST性质：
假设G中任何一棵MST都不含轻边（u，v）。则若T为G的任意一棵MST，那么它不含此轻边。
根据树的定义，则T中必有一条从红点u到蓝点v的路径P，且P上必有一条紫边（u’，v’）连接红点集和蓝点集，否则u和v不连通。当把轻边（u，v）加入树T时，该轻边和P必构成了一个回路。删去紫边（u’，v’）后回路亦消除，由此可得另一生成树T’。
T’和T的差别仅在于T’用轻边（u，v）取代了T中权重可能更大的紫边（u’，v’）。因为w(u，v）≤w(u’，v’），所以
w(T’)=w(T)+w(u，v)-w(u’，v’）≤w(T)
即T’是一棵比T更优的MST，所以T不是G的MST，这与假设矛盾。

普里姆（Prim）算法和克鲁斯卡尔（Kruskal）算法是两个利用MST性质构造最小生成树的算法。

普里姆算法

假设N= （V，｛E｝）是连通网，TE是N上最小生成树中边的集合。算法从U=｛u0｝（u0 ∈ V），TE=｛｝开始，重复执行下述操作：在所有u∈U，v∈V-U的边（u，v）∈E中找一条代价最小的边（u0，v0）并入集合TE，同时v0并入U，直至U=V为止。此时TE中必有n-1条边，则T=（V，｛TE｝）为N的最小生成树。