最大子列和问题

题目：

给定N个整数的序列{A1，A2，...，An}，求函数 的最大值。

算法1：

int MaxSubseqSum1(int A[], int N)
{
	int ThisSum, MaxSum = 0;
	int i, j, k;
	for(i = 0; i < N; i++)              //i是子列左端位置
	{
		for(j = i; j < N; j++)          //j是子列右端位置
		{
			ThisSum = 0;                //ThisSum是从A[i]到A[j]的子列和
			for(k = i; k <= j; k++)
				ThisSum += A[k];
			if(ThisSum > MaxSum)        //如果刚刚得到的这个子列和更大
				MaxSum = ThisSum;       //则更新结果
			
		}                               //j循环结束
	}                                   //i循环结束
	return MaxSum;
}

此方法使用三层循环，时间复杂度为T(N) = O(N3)。

算法2：

int MaxSubseqSum2(int A[], int N)
{
	int ThisSum, MaxSum = 0;
	int i, j;
	for(i = 0; i < N; i++)              //i是子列左端位置
	{
		ThisSum = 0;                    //ThisSum是从A[i]到A[j]的子列和
		for(j = i; j < N; j++)          //j是子列右端位置
		{
			ThisSum += A[j];            //对于相同的i,不同的j,只要在j-1次循环的基础上累加一项即可
			if(ThisSum > MaxSum)        //如果刚刚得到的这个子列和更大
				MaxSum = ThisSum;       //则更新结果
			
		}                               //j循环结束
	}                                   //i循环结束
	return MaxSum;
}

此方法略去了不必要的k循环，时间复杂度为T(N) = O(N2)。

算法3：

int Max3( int A, int B, int C )
{ /* 返回3个整数中的最大值 */
    return A > B ? A > C ? A : C : B > C ? B : C;
}
 
int DivideAndConquer( int List[], int left, int right )
{ /* 分治法求List[left]到List[right]的最大子列和 */
    int MaxLeftSum, MaxRightSum; /* 存放左右子问题的解 */
    int MaxLeftBorderSum, MaxRightBorderSum; /*存放跨分界线的结果*/
 
    int LeftBorderSum, RightBorderSum;
    int center, i;
 
    if( left == right )  { /* 递归的终止条件，子列只有1个数字 */
        if( List[left] > 0 )  return List[left];
        else return 0;
    }
 
    /* 下面是"分"的过程 */
    center = ( left + right ) / 2; /* 找到中分点 */
    /* 递归求得两边子列的最大和 */
    MaxLeftSum = DivideAndConquer( List, left, center );
    MaxRightSum = DivideAndConquer( List, center+1, right );
 
    /* 下面求跨分界线的最大子列和 */
    MaxLeftBorderSum = 0; LeftBorderSum = 0;
    for( i=center; i>=left; i-- ) { /* 从中线向左扫描 */
        LeftBorderSum += List[i];
        if( LeftBorderSum > MaxLeftBorderSum )
            MaxLeftBorderSum = LeftBorderSum;
    } /* 左边扫描结束 */
 
    MaxRightBorderSum = 0; RightBorderSum = 0;
    for( i=center+1; i<=right; i++ ) { /* 从中线向右扫描 */
        RightBorderSum += List[i];
        if( RightBorderSum > MaxRightBorderSum )
            MaxRightBorderSum = RightBorderSum;
    } /* 右边扫描结束 */
 
    /* 下面返回"治"的结果 */
    return Max3( MaxLeftSum, MaxRightSum, MaxLeftBorderSum + MaxRightBorderSum );
}
 
int MaxSubseqSum3( int List[], int N )
{ /* 保持与前2种算法相同的函数接口 */
    return DivideAndConquer( List, 0, N-1 );
}

此方法采用分治法的思想，递归求得左右两边的最大子列和，时间复杂度为T(N) = O(Nlog(N))。

算法4：

int MaxSubseqSum4(int A[], int N)
{
	int ThisSum, MaxSum ;
	int i;
	ThisSum = MaxSum = 0; 
	for(i = 0; i < N; i++)
	{
		ThisSum += A[j];            //向右累加
		if(ThisSum > MaxSum)        //如果刚刚得到的这个子列和更大
			MaxSum = ThisSum;       //则更新结果
		else if(ThisSum < 0)        //如果当前子列和为负
			ThisSum = 0;            //则不可能使后面的部分和增大，抛弃之
	}
	return MaxSum;
}

此方法使用在线处理的方法，每输入一个数据进行及时处理，时间复杂度为T(N) = O(N)。