BZOJ2257瓶子和燃料——裴蜀定理

Description

jyy就一直想着尽快回地球，可惜他飞船的燃料不够了。
有一天他又去向火星人要燃料，这次火星人答应了，要jyy用飞船上的瓶子来换。jyy的飞船上共有 N个瓶子(1<=N<=1000) ，经过协商，火星人只要其中的K 个 。 jyy将 K个瓶子交给火星人之后，火星人用它们装一些燃料给 jyy。所有的瓶子都没有刻度，只在瓶口标注了容量，第i个瓶子的容量为Vi（Vi 为整数，并且满足1<=Vi<=1000000000 ） 。 火星人比较吝啬，他们并不会把所有的瓶子都装满燃料。他们拿到瓶子后，会跑到燃料库里鼓捣一通，弄出一小点燃料来交差。jyy当然知道他们会来这一手，于是事先了解了火星人鼓捣的具体内容。火星人在燃料库里只会做如下的3种操作：1、将某个瓶子装满燃料；
2、将某个瓶子中的燃料全部倒回燃料库；3、将燃料从瓶子a倒向瓶子b，直到瓶子b满或者瓶子a空。燃料倾倒过程中的损耗可以忽略。火星人拿出的燃料，当然是这些操作能得到的最小正体积。
jyy知道，对于不同的瓶子组合，火星人可能会被迫给出不同体积的燃料。jyy希望找到最优的瓶子组合，使得火星人给出尽量多的燃料。
Input
第1行：2个整数N,K，
第2..N 行：每行1个整数，第i+1 行的整数为Vi
Output
仅1行，一个整数，表示火星人给出燃料的最大值。
Sample Input
3 2
3
4
4
Sample Output
4
HINT
选择第2 个瓶子和第 个瓶子，火星人被迫会给出4 体积的容量。

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裴蜀定理是一个关于最大公约数（或最大公约式）的定理，裴蜀定理得名于法国数学家艾蒂安·裴蜀。

裴蜀定理的具体内容如下：

若a,b是整数,且$gcd（a,b)=d$，那么对于任意的整数$x,y,ax+by$都一定是d的倍数，特别地，一定存在整数$x,y$，使$ax+by=d$成立。

它的一个重要推论是：$a,b$互质的充要条件是存在整数$x,y$使$ax+by=1$.

裴蜀定理可以用欧几里德算法来证明（也就是辗转相除法）不想看的可以直接翻后面

只证a和b均不为0的情况即可，且无妨假设a和b均大于0。

记$d = (a, b)$, 对$ax + by = d$，两边同时除以$d$，可得$(a1)x + (b1)y = 1$，其中$(a1,b1) = 1$。

　　转证$(a1)x + (b1)y = 1$。由带余除法：

　　① $(a1) = (q1)(b1) + (r1)$, 其中$0 < r1 < b1$

　　② $(b1) = (q2)(r1) + (r2)$, 其中$0 < r2 < r1$

　　③ $(r1) = (q3)(r2) + (r3)$, 其中$0 < r3 < r2$

　　 …..

　　④ $(rn-4) = (qn-2)(rn-3) + (rn-2)$

　　⑤ $(rn-3) = (qn-1)(rn-2) + (rn-1)$

　　⑥ $(rn-2) = (qn)(rn-1) + (rn)$

　　⑦ $(rn-1) = (qn+1)(rn) + 1$

故，由⑦和⑥推出$(rn-2)An-2 + (rn-1)Bn-1 = 1$

再结合⑤推出$(rn-3)An-3 + (rn-2)Bn-2 = 1$

　　再结合④推出$(rn-4)An-4 + (rn-3)Bn-3 = 1$

　　 …..

　　再结合③推出$(r1)A1 + (r2)B2 = 1$

　　再结合②推出$(b1)A0 + (r1)B0 = 1$

　　再结合①推出$(a1)x + (b1)y = 1$

证毕。

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现在我们回到题目。由于裴蜀定理，我们可以发现：用容量为$x$和$y$瓶子互相倒，那么最终能倒出的最小值就为$gcd(x,y)$

很显然，这个可以由$ax+by$一定为d的倍数，而最小正倍数就是d。并且必定存在整数$x,y$，使$ax+by=d$成立这两个定理来证明。所以题目就变成了：$n$个数里面选择$k$个数，使他们的$gcd$最大。由于题目的数据范围，这道题就变得十分简单，我们只要用$sqrt(n)$来分解所有的因数，然后用map记录即可。

#include<bits/stdc++.h>
#define MAXN 1005
#include<map>
using namespace std;
int read(){
    char c;int x=0,y=1;while(c=getchar(),(c<'0'||c>'9')&&c!='-');
    if(c=='-') y=-1;else x=c-'0';while(c=getchar(),c>='0'&&c<='9')
    x=x*10+c-'0';return x*y;
}
int n,k,f[MAXN],re[5000005],top,ans;
map<int,int> a;
int main()
{
    n=read();k=read();
    for(int i=1;i<=n;i++) f[i]=read();
    for(int i=1;i<=n;i++)
     for(int j=1;j*j<=f[i];j++){
        if(f[i]%j!=0) continue;
        if(!a[j]) re[++top]=j;a[j]++;
        if(!a[f[i]/j]) re[++top]=f[i]/j;a[f[i]/j]++;
        if(j*j==f[i]) a[j]--;
     }
    for(int i=1;i<=top;i++)
       if(a[re[i]]>=k) ans=max(ans,re[i]);
    printf("%d",ans);
    return 0;
}

BZOJ的第100道AC，纪念一下！