本文详细介绍了空间滤波的基本概念，包括线性空间滤波的原理，空间相关与卷积的区别，以及可分离滤波器核的优势。特别强调了平滑滤波（低通）如盒式滤波器和高斯滤波器的作用，以及高斯核的圆对称性和可分离性。此外，还提到了锐化滤波（高通）和不同类型的滤波器，以及如何通过组合使用增强图像效果的方法。
数字图像处理--冈萨雷斯第4版--第三章 空间滤波
第三章 空间滤波
3.1 空间滤波基础
滤波器一词借自频率律处理
滤波：修改或抑制图像的规定频率分量
低通滤波器：通过低频，通过模糊图像来平滑图
空间滤波：把每个像素的值替换为该像素及其邻域的函数值来修改图像，如果对像素执行的运算是线性的，那么称该滤波器为线性空间滤波器，否则，称该滤波器为非线性空间滤波器
3.1.1 线性空间滤波的原理
在图像f和滤波器核w之间执行乘积之和运算
以3x3核为例
g
(
x
,
y
)
=
w
(
−
1
,
−
1
)
f
(
x
−
1
,
y
−
1
)
+
w
(
−
1
,
0
)
f
(
x
−
1
,
y
)
+
.
.
.
+
w
(
0
,
0
)
f
(
x
,
y
)
+
.
.
.
+
w
(
1
,
1
)
f
(
x
+
1
,
y
+
1
)
g(x,y)=w(-1,-1)f(x-1,y-1)+w(-1,0)f(x-1,y)+...+w(0,0)f(x,y)+...+w(1,1)f(x+1,y+1)\
g(x,y)=w(−1,−1)f(x−1,y−1)+w(−1,0)f(x−1,y)+...+w(0,0)f(x,y)+...+w(1,1)f(x+1,y+1)
坐标x和y以变化时,核的中心逐个像素地移动，并在移动过程中生成滤波后的图像g
将上述例子一般化，大小为mxn的核对大小为MxN的图像的线性空间滤波可以表示为
g
(
x
,
y
)
=
∑
s
=
−
a
a
∑
t
=
−
b
b
w
(
s
,
t
)
f
(
x
+
s
,
y
+
t
)
g(x,y)=\sum_{s=-a}^{a}\sum_{t=-b}^{b}w(s,t)f(x+s,y+t)
g(x,y)=s=−a∑at=−b∑bw(s,t)f(x+s,y+t)
3.1.2 空间相关与卷积
空间卷积的原理相同，只是把相关运算的核旋转了180°
因此当和的值关于其中心对称时相关和卷积得到的结果相同
离散单位冲激函数：一个元素是1，其余元素是0的函数
核与离散单位冲激函数相关时会在这个冲激的位置产生核的旋转版本
线性系统理论的基础：将一个函数与一个冲激进行卷积，在冲激所在的位置产生这个函数的一个副本
对于大小为mxn的核，我们在图像的顶部和底部分别至少补(m-1)/2行0，在图像的左侧和右侧分别至少补(n-1)/2列0
得到的完全相关或卷积阵列的大小为(m+M-1)x(n+N-1)
冲激
其中A为振幅
大小为mxn的核w与图像f(x,y)的相关
大小为mxn的核w与图像f(x,y)的卷积
卷积和相关的一些基本性质，破折号表示性质不成立
输入到相关算法的函数的顺序确实会导致不同,因为相关既不满足交换律又不满足结合律
在本书中，我们使用线性空间滤波这个术语时，指的是核与图像进行卷积运算
有时图像是被顺序地、分阶段地滤波的，每个阶段会使用不同的核，由于卷积满足交换律，这种多阶段的滤波可以在单次滤波中完成
其中w是其他核的卷积运算结果
3.1.3 可分离滤波器核
如果二维函数G(x,y)可写分解为
G
(
x
,
y
)
=
G
1
(
x
,
y
)
G
2
(
x
,
y
)
G(x,y)=G_1(x,y)G_2(x,y)
G(x,y)=G1(x,y)G2(x,y)
空间滤波器核是一个矩阵，而可分离核是一个能够表示为两个向量的外积的矩阵
例子
w
=
[
1
1
1
1
1
1
]
w=\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}
w=[111111]
c
=
[
1
1
]
c=\begin{bmatrix} 1\\ 1 \end{bmatrix}
c=[11]
r
=
[
1
1
1
]
r=\begin{bmatrix} 1\\ 1\\ 1 \end{bmatrix}
r=
111
w
=
c
r
T
w=cr^T
w=crT
可分离核的重要性是卷积的结合律性质导致的计算优势
大小为mxn的核与大小为MxN图像的卷积，需要MNmn次乘法和加法运算
而对于可分离核，第一次卷积需要MNm次乘法和加法运算，第二次卷积需要MNn次乘法和加法运算，共需要MN(m+n)次乘法和加法运算
使用可分离核执行卷积运算相对于使用不可分离核执行卷积运算的计算优势
C
=
M
N
m
n
M
N
(
m
+
n
)
=
m
n
m
+
n
C=\frac{MNmn}{MN(m+n)}=\frac{mn}{m+n}
C=MN(m+n)MNmn=m+nmn
一个列向量和一个行向量相乘得到的矩阵，其秩总是1，因此要确定一个和是否可分离，只需确定其秩是否为1，我们通过使用MATLAB的函数rank就可求矩阵的秩
3.1.4 空间域滤波和频率域滤波地一些重要比较
傅里叶变换：空间域处理和频率域处理
空间域和频率域有关的2个基本性质
1.卷积是空间域滤波的基础，它等效于频率域的乘法，反之亦然
2.空间域中振幅为A的冲激，是频率域中值为A的一个常数，反之亦然
满足一些温和条件的函数可以表示为不同频率和振幅的正弦波之和，图像的外观依赖于其正弦分量的频率，改变这些分量的频率将改变图像的外观
我们可以将某些频带与图像特征关联起来
图像中灰度变化缓慢的区域由低频正弦波表征，边缘和其他急剧的灰度过渡由高频正弦波表征，因此减少图像中的高频分量就会使图像变得模糊
线性滤波——修改图像的频率内容
在空间域中通过卷积滤波来实现
在频率域中通过乘法滤波器来实现
3.1.5 如何构建空间滤波器核
3种基本方法
1.根据数学性质。例如，计算平均值的滤波器会模糊图像，计算平均值类似于积分，相反，计算局导数的滤波器会锐化图像。
2.对形状具有所需性质的二维空间函数进行采样。例如，高斯函数的样本可以构建加权平均（低通）滤波器。
3.设计具有规定频率响应的空间滤波器。
3.2 平滑（低通）空间滤波器
用于降低灰度的急剧过渡，由于随机噪声通常由灰度的急剧过渡组成，因此，平滑的一个明显应用就是降噪。
也是其他重要滤波器的基础
本节讨论基于可分离盒式核和高斯核的低通滤波器，重点是高斯核
3.2.1 盒式滤波器核
最简单的可分离低通滤波器核
一个大小为mxn的盒式滤波器是元素值为1的一个mxn阵列，其前面有一个归一化的常数
因为盒式核所有行和列都相同，所以这些核的秩都是1，这意味着它们是可分离的
归一化的两个目的
1.一个恒定灰度区域的灰度平均值将等于滤波后的图像中的灰度值
2.可以防止在滤波过程中引入偏差，在原图像和滤波后的图像中像素之和是相同的（暂时没有证明出来）
滤波后出现灰色边框的原因:
这是在滤波之前对图像进行填充零的结果，填充零会扩展图像的边界，避免在滤波期间和的一部分位于图像边界之外时执行未定义的运算，填充后平滑边界或边界附近的结果是一个暗灰色边框，它是在平均过程中包含黑色像素导致的
盒式滤波器的局限性：
1.对透镜模糊特性的近似能力较差
2.往往会沿垂直方向模糊图像，在涉及精细细节或具有强几何分量的图像的应用中，其方向性会产生我们不希望的结果
3.2.2 低通高斯滤波器核
应用中所选的核通常是圆对称的，具有各相同性，这意味着它们的响应与方向无关
高斯核是唯一可分离的圆对称核
w
(
s
,
t
)
=
G
(
s
,
t
)
=
K
e
−
s
2
+
t
2
2
σ
2
w(s,t)=G(s,t)=Ke^{-\frac{s^2+t^2}{2\sigma ^2} }
w(s,t)=G(s,t)=Ke−2σ2s2+t2
r
=
s
2
+
t
2
2
r=\sqrt[2]{s^2+t^2}
r=2s2+t2
G
(
r
)
=
K
e
−
r
2
2
σ
2
G(r)=Ke^{-\frac{r^2}{2\sigma ^2} }
G(r)=Ke−2σ2r2
这个函数是圆对称的，变量r是从中心到函数G上任意一点的距离
由于我们通常处理的是奇数大小的核，这类核的中心位于整数值上，可以证明r平方的所有值也都是整数
核是对函数取样得到的：首先规定s,t的值，然后读取函数在这些坐标处的值，这些值是核的系数，通过除以各个系数之和实现归一化
圆对称高斯核的可分离性：
y
=
e
−
x
y=e^{-x}
y=e−x
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