洛谷P3807 lucas定理模板

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原创最新推荐文章于 2026-05-21 13:41:42 发布 146 阅读 AI 写同款· GEO 优化 ›

洛谷 P3807 【模板】卢卡斯定理/Lucas 定理卢卡斯定理, 逆元，费马小定理阅读详情

Lucas定理：

给出 $n, m, p$ ，其中 $n∈[1,105],m∈[1,105],p∈[1,105],p∈primen\in[1,10^5],m\in[1,10^5],p\in[1,10^5],p\in prime$
$C_{n}^m\ \equiv C_{n\ mod\ p}^{m\ mod\ p}C_{\lfloor \frac{n}{p} \rfloor}^{\lfloor \frac{m}{p} \rfloor}\ (mod\ p)$
其中第一个组合数直接暴力计算，第二个组合数递归计算

一些解释：

为何不能直接计算阶乘计算？

阶乘计算需要逆元，不是任何情况下都存在逆元的，考虑解不定方程求逆元，这样的限制最少，即解方程
$ax\equiv1\ (mod\ p)$
即解不定方程
$a x - k p = 1$
裴蜀定理，这个方程需要满足以下条件才会有解
$g c d (a, k) = 1$
可见并不是所有的 $a, k$ 都满足这个条件的。

平时能用逆元是因为模数太大， $n$ 不超过模数，这样无论如何都存在逆元

第一个组合数的计算方法：

此时 $p<pn\ mod\ p<p,m\ mod\ p<p$ ，于是即转换为了上一点的最后一句话，就可以计算逆元来求解了

时间复杂度： $O (p + l o g n)$

#ifndef stdjudge
#include<bits/stdc++.h>
#endif
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<numeric>
#include<ctime>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<bitset>
using namespace std;

using ll=long long;
const int N=1e5+5,inf=0x3fffffff;
const long long INF=0x3fffffffffffffff,mod=998244353;

ll qpow(ll a,ll b,ll p)
{
	ll ret=1,base=a;
	while(b)
	{
		if(b&1) ret=ret*base%p;
		base=base*base%p;
		b>>=1;
	}
	return ret;
}

ll inv(ll x,ll p){return qpow(x,p-2,p);}

ll C(ll n,ll m,ll p)
{
	if(n<m) return 0;
	ll ret1=1,ret2=1,ret3=1;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		ret1=ret1*i%p;
		if(i<=m) ret2=ret2*i%p;
		if(i<=n-m) ret3=ret3*i%p;
	}
	return ret1*inv(ret2,p)%p*inv(ret3,p)%p;
}

ll lucas(ll n,ll m,ll p)
{
	if(!n||!m) return 1;
	return C(n%p,m%p,p)*lucas(n/p,m/p,p)%p;
}

int main()
{
	#ifdef stdjudge
		freopen("in.txt","r",stdin);
	#endif
	int t; cin>>t;
	while(t--)
	{
		ll n,m,p; cin>>n>>m>>p;
		cout<<lucas(n+m,m,p)<<'\n';
	}
	return 0;
}