用最大似然估计求逻辑回归参数

一.最大似然估计

    选择一个(一组)参数使得实验结果具有最大概率。

A. 如果分布是离散型的，其分布律,是待估计的参数，这里我们假设为已知量，则：设X1, X2, ... , Xn 是来自于X的样本,X1,X2,...Xn的联合分布律为：

           （1）

     设x1,x2,...xn是X1,X2,..Xn的一个样本值，则可知X1,..Xn取x1,..,x2的概率，即事件{X1 = x1,...,Xn=xn}发生的概率为：

            （2）

     这里，因为样本值是已知的，所以(2)是的函数，称为样本的似然函数。

     最大似然估计：已知样本值x1,...xn,选取一组参数,使概率达到最大值，此时的为最大估计值。即取使得：

         

     与x1,...,xn有关，记为并称其为参数的极大似然估计值。

B.如果分布X是连续型，其概率密度的形式已知，为待估计参数，则事件X1,...Xn的联合密度为：

          (3)

     设x1,..xn为相应X1,...Xn的一个样本值，则随机点(X1,...,Xn)落在(x1,..xn)的领域内的概率近似为：

            (4)

       最大似然估计即为求值，使得(4)的概率最大。由于

               不随而变，故似然函数为：

                (5)

C. 求最大似然估计参数的步骤：

      (1) 写出似然函数：

                (6)

               这里，n为样本数量，似然函数表示n个样本(事件)同时发生的概率。

         (2) 对似然函数取对数：

                

          (3) 将对数似然函数对各参数求偏导数并令其为0，得到对数似然方程组。

          (4) 从方程组中解出各个参数。

D. 举例：

        设;为未知参数，x1,...xn为来自X的一个样本值。求的极大似然估计值。

       解：X的概率密度为：

             

           似然函数为：

            

            

            令  即：

             解得：   带入解得

二.逻辑回归

     逻辑回归不是回归，而是分类。是从线性回归中衍生出来的分类策略。当y值为只有两个值时(比如0，1)，线性回归不能很好的拟合时，用逻辑回归来对其进行二值分类。

     这里逻辑函数(S型函数)为：

       (7)

     于是，可得估计函数：

         （8）

      这里，我们的目的是求出一组值，使得这组可以很好的模拟出训练样本的类值。

      由于二值分类很像二项分布，我们把单一样本的类值假设为发生概率，则：

            （9）

       可以写成概率一般式：

              (10)

       由最大似然估计原理，我们可以通过m个训练样本值，来估计出值，使得似然函数值最大：

          （11）

        这里，为m个训练样本同时发生的概率。对求log，得：

            

           （12）

         我们用随机梯度上升法，求使最大化时的值，迭代函数为：

              （13）

         这里对每个分量进行求导，得：

           （14）

         于是，随机梯度上升法迭代算法为：

         repeat until convergence{

               for i = 1 to m{

                              (15)

               }

         }

思考：

      我们求最大似然函数参数的立足点是步骤C，即求出每个参数方向上的偏导数，并让偏导数为0，最后求解此方程组。由于中参数数量的不确定，考虑到可能参数数量很大，此时直接求解方程组的解变的很困难。于是，我们用随机梯度上升法，求解方程组的值。

备注：

        (a) 公式(14)的化简基于g(z)导函数，如下：

                 （16）

       (b) 下图为逻辑函数g(z)的分布图：