hdu acm 1028

嗯，组合数学貌似只看了一点……但貌似ac这道题足够

知识点：组合数学之母函数

研究一下形式

 

 

可以看出：

x^2项的系数a1a2+a1a3+...+an-1an中所有的项包括n个元素a1，a2， …an

中取两个组合的全体；同理x^3项系数包含了从n个元素a1，a2， …an中取3

个元素组合的全体。以此类推。


母函数是用于对应一个无穷序列的幂级数，一般来说母函数有形式：

 

我们称G(x)是序列g0,g1,g2………… 的母函数

for example：

若有1克、2克、3克、4克的砝码各一 枚，能称出哪几种重量？各有几种可能方案？

如何解决这个问题呢？考虑构造母函数。

如果用x的指数表示称出的重量，则：

1个1克的砝码可以用函数1+x表示，

1个2克的砝码可以用函数1+x2表示，

1个3克的砝码可以用函数1+x3表示，

1个4克的砝码可以用函数1+x4表示，

几种砝码的组合可以称重的情况，可以用以上几个函数的乘积表示：

(1+x)(1+x^2)(1+x^3)(1+x^4)

=(1+x+x^2+x^3)(1+x^3+x^4+x^7)

=1+x+x^2+2x^3+2x^4+2x^5+2x^6+2x^7+x^8+x^9+x^10

从上面的函数知道，可称出从1克到10克，系数便是方案数。例如右端

有2x5 项，即称出5克的方案有2：5=3+2=4+1，同样，6=1+2+3=4+2；

10=1+2+3+4。故称出6克的方案有2，称出10克的方案有1  

同理，对于整数拆分也用类似方法，例如对5进行拆分

整数1 用 函数 1+x+x^2+x^3+x^4+x^5 (ps 因为所有的1都”一样“，所以两个1时即x^2时系数为1）表示

整数2 用 函数 1+x^2+x^4 表示

整数3 用 函数 1+x^3 表示

整数4 用 函数 1+x^4表示

整数5 用 函数 1+x^5表示

所有的式子相乘，得到x^5的系数即为拆分数

因此程序处理点在于多项式相乘，可用矩阵法，注意优化

程序如下:

#include <stdio.h> #include <math.h> int main() { long martrix[121][121],sum_exp[121],this_exp[121],n,i,j,k; while(scanf("%ld",&n)!=EOF) { for(i=1;i<n;i++) for(j=0;j<=n;j++) { if(j%(i+1)==0) martrix[i][j] = 1; else martrix[i][j] = 0; } for(i=0;i<=n;i++) this_exp[i] = 1; for(i=1;i<n;i++) { for(j=0;j<=n;j++) sum_exp[j] = 0; for(j=0;j<=n;j++) { for(k=0;k<=n;k++) { if(j+k<=n) { sum_exp[k+j] += this_exp[j]*martrix[i][k]; } } } for(j=0;j<=n;j++) {this_exp[j] = sum_exp[j];} } printf("%ld/n",this_exp[n]); } return 0; }