jzoj 3456 恭介的法则

Description

终于，在众亲们的奋斗下，最终boss 恭介被关进了库特设计的密室。正当她们松了一口气时，这个世界却发生了天翻覆地的变化：地面开始下沉，天空开始变成血红色，海水沸腾……一幅世界末日的图景。美鱼从她手中的古籍《若山牧水诗歌集》中发现了原因：白鸟は かなしからずや 空の青 海のあをにも 染まずただよふ 。大（xia）意（shuo）就是狡猾的恭介在创造这个世界的时候就篡改了法则。而这个法则的起源，就是一只生死之间的猫。这个猫被关在一个黑盒子里，盒子里有两个毒气罐，如果有任意一个毒气罐被打开那么猫将会被杀死，法则也能得到纠正。然而外界能控制的仅仅是这两个毒气罐被打开的概率。假设第一个毒气罐被打开的概率为1/x，第二个毒气罐为1/y（x,y 为正整数），那么当两个概率和为1/(n!)时，猫将会被莫名其妙地杀死。现在美鱼想知道，有多少对(x,y)可以让猫被莫名其妙杀死。

Input

一行，一个正整数n

Output

一行，满足题意的(x,y)对数。

Sample Input

6

Sample Output

135

Data Constraint

对于30%的数据 n<=6
对于60%的数据 n<=50
对于100%的数据 n<=700000

---

Solution

题目求的是满足$\frac{1}{x} +\frac{1}{y}=\frac{1}{n!}（x，y\in N*）的x，y有多少对$

$\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{x+y}{xy}=\dfrac{1}{n!}$
$\dfrac{xy}{x+y}=n!$
$xy=n!(x+y)=n!x+n!y$
$xy-n!x=(y-n!)x=n!y$
$x=\dfrac{n!y}{y-n!}$
由于，x，y都是正整数，则有
$y-n!>0\Rightarrow y>n!$
$(y-n!)|n!y$
设y=n!+k
$x=\dfrac{n!y}{y-n!}=\dfrac{n!(n!+k)}{k}=\dfrac{(n!)^2+n!k}{k}$
为了满足x，y都是正整数，$k|(n!)^2$
所以答案为$(n!)^2$的因子个数

---

#pragma GCC opitmize("O3")
#pragma G++ opitmize("O3")
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;

#define N 700100
#define P 10000000
#define LL long long

int prime[N],isprime[N];
LL num[N];
LL ans[10000];
int n,l;

__attribute__((optimize("-O3")))
void init()
{
    scanf("%d",&n);
    memset(isprime,0,sizeof(isprime));
    for (int i=2;i<=n;++i)
    {
        if (isprime[i]==0) prime[++prime[0]]=i;
        for (int j=1;j<=prime[0];++j)
        {
            int t=i*prime[j];
            if (t>n) break;
            isprime[t]=t;
            if (i%prime[j]==0) break;
        }
    }
    for (int i=1;i<=prime[0];++i)
    {
        int j=n;
        while (j) num[i]+=(j/=prime[i]);
    }
    for (int i=1;i<=prime[0];++i)
      num[i]=num[i]*2+1;
//  for (int i=1;i<=prime[0];++i) printf("%lld ",num[i]);
//  printf("\n");
}

__attribute__((optimize("-O3")))
void cheng()
{
    memset(ans,0,sizeof(ans));
    l=1;
    ans[1]=1;
    for (int i=1;i<=prime[0];++i)
    {
        LL t=0;
        //printf("%d\n",i);
        for (int j=1;j<=l;++j)
        {
            ans[j]=ans[j]*num[i]+t;
            t=ans[j]/P;
            ans[j]%=P;
        }
        if (t!=0)
        {
            l++;
            ans[l]=t;
        }
        /*for (int i=l;i>=1;--i)
        printf("%lld",ans[i]);
      printf("\n%d\n",l);*/
    }
    for (int i=l;i>=1;--i)
    {
        if (i!=l)
        {
            int j=P/10;
            while (ans[i]/j==0 && j>0) 
            {
                printf("0");
                j/=10;
            }
        }
      printf("%lld",ans[i]);
    }
    printf("\n");
}

int main()
{
    init();
    cheng();
    return 0;
}

PS

刚开始最后一个点TLE，在同学的帮助下开-O3愉快的过了
全局的
#pragma GCC opitmize("O3")
#pragma G++ opitmize("O3")
某过程前
__attribute__((optimize("-O3")))