时间序列（二）——实践中应用

实践中选择模型

通过p、d、q决定需要的模型

ARIMA模型的公式可以表示为：

$Y_t=c+{\phi }_1{Y}_{t-1}+{\phi }_2{Y}_{t-2}+\dots +{\phi }_p{Y}_{t-p}+{\theta }_1{ϵ}_{t-1}+{\theta }_2{ϵ}_{t-2}+\dots +{\theta }_q{ϵ}_{t-q}+{ϵ}_t$

在 时间序列（一）中我们已经提到过，ARIMA模型中的三个参数p、q、d分别代表的含义是：p和q分别控制ARIMA模型中自回归和移动平均的部分，而d则控制输入ARIMA模型的数据被执行的差分的阶数。可以简单理解为：

ARIMA（p,d,q)	模型类型	模型解释
ARIMA(0,d,0)	随机游走模型或白噪声模型	当d=1时，是随机游走模型；当d=0时，是白噪声模型
ARIMA(0,d,q)	MA模型或IMA模型	当d=0时，是MA(q)模型；当d≠0时，是IMA(d,q)模型
ARIMA(p,d,0)	AR模型或ARIMA模型	当d=0时，是AR模型；当d≠0时，是ARIMA(p,d,0)模型
ARIMA(p,d,q)	ARMA模型或ARIMA模型	当d=0时，是ARMA(p, q)模型；当d≠0时，是ARIMA(p,d,q)模型

模型解释：

1、AR模型（Autoregressive Model）：自回归模型，它将当前值与过去p个值的线性组合进行比较。

2、MA模型（Moving Average Model）：移动平均模型，它将当前值与过去q个误差项的线性组合进行比较。

3、ARMA模型（Autoregressive Moving Average Model）：自回归移动平均模型，它是AR模型和MA(q)模型的组合。

4、ARIMA模型（Autoregressive Integrated Moving Average Model）：自回归积分移动平均模型，它是ARMA(p, q)模型的扩展，增加了差分的步骤，使得非平稳序列变得平稳。

5、IMA模型（Integrated Moving Average Model）：积分移动平均模型，它是MA(q)模型的扩展，增加了差分的步骤，使得非平稳序列变得平稳。

超参数p的确定

对于AR模型，ACF会展现出拖尾的形式，而PACF则在p阶后突然截尾。

import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
from statsmodels.tsa.arima_process import ArmaProcess
from statsmodels.graphics.tsaplots import plot_acf, plot_pacf

# 参数
ar = np.array([1, -0.5, -0.4])
ma = np.array([1])

# 生成AR(2)过程
ar2_process = ArmaProcess(ar, ma)
ar2_sample = ar2_process.generate_sample(nsample=1000)

# 绘制ACF和PACF
plt.figure(figsize=(12,8))
plt.subplot(211)
plot_acf(ar2_sample, ax=plt.gca())
plt.subplot(212)
plot_pacf(ar2_sample, ax=plt.gca())
plt.show()

对任意时间序列，当ACF图像呈现拖尾、且PACF图像呈现截尾状态时，当前时间序列适用AR模型，且PACF截尾的滞后阶数就是超参数p的理想值，如图(此图适用模型：AR，超参数q和p分别为0，2）：

超参数q的确定

对于MA模型，ACF在q阶后突然截尾，而PACF则呈现拖尾的形式

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from statsmodels.tsa.arima_process import ArmaProcess
from statsmodels.graphics.tsaplots import plot_acf, plot_pacf

# 定义MA模型的参数
ar = np.array([1])
ma = np.array([1, 0.5, 0.7])
np.random.seed(1)

# 创建ARMA模型
arma_process = ArmaProcess(ar, ma)
sample = arma_process.generate_sample(nsample=1000)

# 绘制ACF和PACF图
plt.figure(figsize=(12,8))
plt.subplot(211)
plot_acf(sample, ax=plt.gca(), lags=30)
plt.subplot(212)
plot_pacf(sample, ax=plt.gca(), lags=30)
plt.show()

对任意时间序列，当PACF图像呈现拖尾、且ACF图像呈现截尾状态时，当前时间序列适用MA模型，且ACF截尾的滞后阶数就是超参数q的理想值

对于MA模型，PACF的拖尾可能不会很明显，这主要是因为在实际的样本数据中，PACF可能会受到噪声的影响。不过，在理论上，MA(q)模型的PACF应该在q阶后展现出拖尾的特性。

一般情况下如何确定p和q

如果我们有一个纯随机（也称为白噪声）序列，那么它的自相关和部分自相关应该都是接近零的。这就是所谓的“不截尾，几乎没有显著的值”的情况。我们可以用numpy来生成这样一个序列。

import numpy as np
from statsmodels.graphics.tsaplots import plot_acf, plot_pacf
import matplotlib.pyplot as plt

np.random.seed(0)
random_series = np.random.normal(size=1000)

plt.figure(figsize=(12,8))
plt.subplot(211)
plot_acf(random_series, ax=plt.gca())
plt.subplot(212)
plot_pacf(random_series, ax=plt.gca())
plt.show()

对任意时间序列，当ACF图像和PACF图像都呈现不呈现拖尾状态时，无论图像是否截尾，时间序列都适用于ARIMA模型，且此时ACF和PACF图像无法帮助我们确定p和q的具体值，但能确认p和q一定都不为0。

总的来说，ACF和PACF图像可以给我们一些关于应该使用什么类型的模型（AR、MA还是ARIMA）以及可能的p和q值的初步想法。然而，它们不能给我们绝对的答案，因为在实际数据中可能存在一些噪声和复杂性，这就需要我们使用一些模型选择准则（如AIC和BIC）来帮助我们选择最好的模型。