MT2D大地电磁有限元正演程序--单元分析

spvfly

于 2019-11-13 21:21:50 发布

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分类专栏：地球物理

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MT2D有限元单元分析

泛函公式

$J(U)=\sum_{V} \int_{e} \frac{1}{2} \sigma(\nabla U)^{2} d V+\sum_{V} \int_{e} \frac{1}{2} \sigma k^{2} U^{2} d V-I \delta(A) U$
对于每一个单元，需要对上式的第一项和第二项的单元积分。最重要的是求 $∇U\nabla U$ 和 $U$ 的积分计算。

三角单元的形函数

在这里插入图片描述

U的单元分析

假定在三角单元内的电位 $U$ 是线性变化的，即
$U=N_iU_i+N_jU_j+N_mU_m$
其中， $N_n$ 为形函数， $n = i, j, m$
$N_{n}=\frac{1}{2 \Delta}\left(a_{n}+b_{n} x+c_{n}y\right)$
由于形函数仅与空间坐标有关系，与其他因素无关，其中 $a_{n},b_{n}$ 公式如下：
$\left\{\begin{array}{l}{a_{i}=x_{j}y_{m}-y_{j}x_{m},b_{i}=y_{j}-y_{m}, c_{i}=x_{j}-x_{m}} \\ {a_{j}=x_{m}y_{i}-y_{m}x_{j},b_{j}=y_{m}-y_{i}, c_{j}=x_{m}-x_{i}} \\ {a_{m}=x_{i}y_{j}-y_{i}x_{j},b_{m}=y_{i}-y_{j}, c_{m}=x_{i}-x_{j}} \\ {\Delta=\frac{1}{2}\left(b_{i}c_{j}-b_{j} c_{i}\right)}\end{array}\right.$