UVA - 12169 扩展GCD

• 题意：

  • 数列x[2*n]是按照$x_i = (a · x_{i−1} + b)\%10001$生成的，现在给你n个奇数项 $x_1,x_3,x_5···x_{2*n-1}$，求偶数项，（一组可行解）

• 规模：

  • $1<=n,x_i<=10000$
  • $1<=a,b<=10000$
  • $1<=T<=100$

• 类型：

  • 数论，gcd

• 分析：

  • $x_2=ax_1+b-mod*y$
  • $x_3=ax_2+b-mod*y$
  • 1式代入2式得：$x_3-a^2x_1=(a+1)*b+mod*y$
  • 枚举a，通过ex_gcd得b，判断是否满足

• 时间复杂度&&优化：

  • 看上去像$n^2$，但实际ex_gcd这里只有$(x_3-a^2x_1)\% gcd(a+1,mod)==0$时b有解，实际很少。

• 代码：

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<stdlib.h>
#include<queue>
#include<stack>
#include<math.h>
#include<vector>
#include<algorithm>
#include<iostream>


using namespace std;

const int INF=0x3fff3fff;
const int MAXN=1010;
const int MAXM=40010;
const int MOD=10001;
typedef long long ll;

//****************
//返回d=gcd(a,b);和对应于等式ax+by=d中的x,y
long long extend_gcd(long long a,long long b,long long &x,long long &y)
{
    if(a==0&&b==0)return -1;
    if(b==0){x=1;y=0;return a;}
    long long d=extend_gcd(b,a%b,y,x);
    y-=a/b*x;
    return d;
}

int n,m;
long long x[2100];
int main()
{
    std::ios::sync_with_stdio(false);
    std::cin.tie(0);
    while(cin>>n){
        n*=2;
        for(int i=1;i<=n;i+=2){
            cin>>x[i];
        }
        long long a,b,y;
        for(a=0;;a++){
            long long c=x[3]-a*a*x[1];
            long long d=extend_gcd(a+1,MOD,b,y);
            if(c%d)continue;
            b=b*c/d;
            //cout<<a<<endl;
            int flag=1;
            int i;
            for(i=2;i<=n;i++){
                if(i&1){
                    if(x[i]!=(a*x[i-1]+b)%MOD){break;}
                }
                else x[i]=(a*x[i-1]+b)%MOD;
               // cout<<i<<" "<<x[i]<<endl;
            }
            if(i>n)break;
        }
        for(int i=2;i<=n;i+=2)
            printf("%lld\n",x[i]);
    }

    return 0;
}