UVA - 12169 - Disgruntled Judge （扩展欧几里得）

最新推荐文章于 2023-07-30 11:33:53 发布

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题目链接：https://vjudge.net/problem/UVA-12169

题意：已知 $a,b,x_1$ 范围[0,10000]，且 $x_i=(a*x_{i-1}+b) \%10001$ ，给出输入 $T,x_1,x_3,...,x_{2*T-1}$ ，求出任意一个符合题意的序列 $x_2,x_4,...,x_{2*T}$ 。

思路：

当T==1时，此时对a,b没有限制，可取a=b=0，得
$x_2=0$ 。
当T>=2时，此时输入至少有 x1,x3 ，则有
x2=(a∗x1+b)%n
x3=(a∗x2+b)%n
两者联立消掉未知的 x2 ，得
x3=(a∗(ax1+b)%n+b)%n
　　 =(a∗(ax1+b)+b)%n
　　 =(a2x1+(a+1)b)%n
- 即： $x_3≡a^2x_1+(a+1)b 　(mod 　n)$
  则　 $(a+1)b≡x_3-a^2x_1$ ，当我们枚举a的时候，则变为扩展欧几里得的常见应用——求解模线性方程ax≡b (mod n)，解出b后，就可以检验a,b是否满足题意。
- 或者变为 $a^2x_1+(a+1)b-ny=x_3$
  则　 $(a+1)b+n(-y)=x_3-a^2x_1$ ，当我们枚举a的时候，则变为扩展欧几里得的常见应用——求解线性方程ax+by=c的一组整数解。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <string>
#include <cmath>
#include <vector>
#include <queue>
#include <stack>
#include <set>
#include <map>

using namespace std;

#define FOR(i,k,n) for(int i=k;i<n;i++)
#define FORR(i,k,n) for(int i=k;i<=n;i++)
#define scan(a) scanf("%d",&a)
#define scann(a,b) scanf("%d%d",&a,&b)
#define scannn(a,b,c) scanf("%d%d%d",&a,&b,&c)
#define mst(a,n)  memset(a,n,sizeof(a))
#define ll long long
#define N 105
#define mod 10001
#define INF 0x3f3f3f3f

const double eps=1e-8;
const double pi=acos(-1.0);

int x[N];

int ex_gcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
    if(b==0)
    {
        x=1; y=0;
        return a;
    }
    int d=ex_gcd(b,a%b,x,y);
    int t=x;
    x=y;
    y=t-a/b*y;
    return d;
}

int cal(int a,int b,int c)
{
    int x,y;
    int gcd=ex_gcd(a,b,x,y);
    if(c%gcd) return -1;
    x*=c/gcd;
    if(b<0) b=-b;
    //b/=gcd;//添加或去掉这条语句，都可以AC
    x=x%b;
    if(x<0) x+=b;
    return x;//得到%10001下的解
}

int main()
{
    //freopen("in.txt","r",stdin);
    //freopen("out.txt","w",stdout);
    int t;
    cin>>t;
    for(int i=1;i<=t;i++)
        cin>>x[i];
    if(t==1) cout<<0<<endl;
    else
    {
        for(int a=0;a<=10000;a++)
        {
            //cout<<(x[2]-a*a%mod*x[1]%mod)%mod<<endl;
            int cc=(x[2]-a*a%mod*x[1]%mod)%mod;
            if(cc<0) cc+=mod;
            int b=cal(a+1,mod,cc);
            if(b==-1) continue;
            int flag=1;
            for(int i=3;i<=t;i++)
            {
                if(x[i]!=(a*a%mod*x[i-1]%mod+a*b%mod+b)%mod)
                {
                    flag=0;
                    break;
                }
            }
            if(flag)
            {
                for(int i=1;i<=t;i++)
                    cout<<(a*x[i]+b)%mod<<endl;
                break;
            }
        }
    }
    return 0;
}