Rectangles

//http://www.spoj.com/problems/AE00/

#include <iostream>
#include <complex>
using namespace std;
int main(int argc, char* argv[]) {
	int n;
	cin >> n;
	int sum = 0;
	for (int i = 1; i <=n; i++) {
		for (int w=1; w*w<=i; w++) {
			// if w*d <=i, then it means it can be a rec.
			if (i%w==0) {
				sum++;
			}
		}
	}
	cout << sum << endl;
}


<think>首先,用户的问题是关于解决POJ3695 Rectangles的算法问题,具体是计算多个矩形的总面积。用户提到了参考引用,其中引用[1]提到了POJ3695 Rectangles,并说使用组合数学中的容斥原理解决最适合,因为是多查询且矩形不多。引用[4]提到了POJ1151 Atlantis,使用朴素算法和线段树解法,但那是另一个问题。 我的回答需要遵循系统级指令:1.行内数学表达式用$...$格式。2.独立公式用$$...$$格式并单独成段。 3. LaTeX语法正确。4.使用中文回答。 5.生成相关问题。 6.回答中引用的段落末尾自然地添加引用标识,例如[^1]。用户可见层指令:回答结构清晰,帮助用户逐步解决问题,保证真实可靠。用户的问题核心是:如何解决POJ3695 Rectangles,即计算多个矩形的总面积,特别是因为是多查询,矩形数量不多。从引用[1]:使用容斥原理解决。引用[1]说:"使用组合数学中的容斥原理解决之最适合。线段树是通法,但是除了线段树,还有其他可行的方法。" POJ3695Rectangles是一个计算几何问题,涉及计算多个矩形的并集面积。由于是多查询(multiplequeries),矩形数量不多(题目中矩形数量较小),所以容斥原理适合。 回想一下容斥原理:对于多个集合的并集大小,可以用单个集合大小减去两两交集大小加上三个交集大小,依此类推。对于矩形并集面积,类似。每个矩形是轴对齐的(axis-aligned),在POJ问题中,通常是轴对齐矩形。 问题描述:给定多个矩形,每个矩形由左下角和右上角坐标定义,计算所有矩形的总面积(即并集面积)。由于是多查询,输入可能包含多个查询集,每个查询集有多个矩形。在POJ3695,输入格式:第一行是整数n(矩形数量),然后n行每行四个整数x1 y1 x2 y2(左下角和右上角坐标),然后可能有多组查询。引用[1]提到"多次查询",所以可能有多个测试用例。容斥原理方法:对于k个矩形,并集面积S =Σarea(Ri)- Σarea(Ri∩ Rj)+ Σarea(Ri ∩Rj∩ Rk)- ...+ (-1)^{k+1}area(R1 ∩R2 ∩... ∩Rk) 由于矩形数量不多,我们可以计算所有子集的交集面积。 在代码中,我们需要计算所有非空子集的交集面积,并根据子集大小添加符号。具体步骤: 1.对于给定的一组矩形,生成所有非空子集。2.对于每个子集,计算子集中所有矩形的交集矩形。如果交集为空,则面积为0。 3.交集矩形:对于轴对齐矩形,交集是[max(x1),max(y1)]到 [min(x2),min(y2)],但需要检查是否有效(即max(x1)<min(x2)且max(y1)< min(y2))。 4.然后,根据子集大小,如果是奇数,加面积;偶数,减面积。5.最后得到并集面积。由于矩形数量n不大(在POJ3695,n可能较小,如不超过20),所以2^n子集是可行的。引用[1]说"矩形不多",所以n小。 现在,回答结构: -先解释问题:POJ3695Rectangles要求计算多个矩形的并集面积,有多个查询。 -然后介绍容斥原理方法。-给出算法步骤。-可能提供伪代码或代码示例(但用户没有指定语言,所以用中文描述)。-最后生成相关问题。引用标识:我需要引用参考内容。用户提供了引用[1]到[4],其中引用[1]直接相关。在回答中,当提到容斥原理时,可以引用[1]。例如:"如引用[1]所述,使用容斥原理解决此问题最适合。" 其他引用可能不直接相关,但引用[4]是关于POJ1151,使用线段树,但那是另一个问题,涉及扫描线算法。对于POJ3695,由于矩形不多,容斥原理更简单。 用户提到"计算多个矩形的总面积",但POJ3695是并集面积,不是总面积。总面积通常指并集,避免重复计算。是的。 现在,数学表达式:当描述容斥原理时,使用行内或独立公式。 例如,行内:$S= \sum_{i} A_i -\sum_{i<j}A_{i\capj}+ \sum_{i<j<k} A_{i\capj \cap k} -\cdots$ 独立公式:单独成段。 使用中文回答。 生成相关问题:在最后,添加相关问题。相关问题应基于主题,如计算几何、容斥原理、其他方法等。例如:1.容斥原理在其他问题中的应用? 2.如果矩形数量大,如何优化?如使用扫描线算法。 3. POJ1151 Atlantis的解法比较。 等等。 回答结构:1.**问题描述**:简要描述POJ3695 Rectangles问题。 2. **算法选择**:解释为什么容斥原理适合,引用[1]。3.**容斥原理详解**:解释公式和计算步骤。4.**伪代码或实现思路**:提供算法框架。 5. **复杂度分析**:由于n小,2^n可接受。6.**相关问题**:生成3-5个相关问题。 最后,确保LaTeX正确。</think>### POJ 3695 Rectangles 算法解法:计算多个矩形的并集面积 POJ 3695 Rectangles 是一个计算几何问题,要求计算多个轴对齐矩形(axis-aligned rectangles)的总面积(即并集面积,避免重复计算)。输入包括多个查询集,每个查询集包含若干矩形(矩形数量通常较小,如不超过20),每个矩形由左下角坐标 $(x_1, y_1)$ 和右上角坐标 $(x_2, y_2)$ 定义。问题核心是高效处理多查询场景,且矩形数量不多时,使用组合数学中的容斥原理(Inclusion-Exclusion Principle)是最佳方法,如引用[1]所述[^1]。以下我将逐步解释算法原理、实现步骤和复杂度分析,确保回答清晰可靠。 #### 问题背景与算法选择 - **问题描述**:给定 $n$ 个矩形,计算它们的并集面积(即所有矩形覆盖的总区域,重叠部分只算一次)。输入可能包含多个测试用例(多查询),每个用例的矩形数 $n$ 较小。 - **为什么选择容斥原理**: 当矩形数量 $n$ 较小(例如 $n \leq 20$)时,容斥原理能直接计算所有子集的交集面积,实现简单高效。相比之下,线段树或扫描线算法(如引用[4]中的POJ1151解法)更适合矩形数量大的场景,但这里矩形不多,容斥原理更优[^1]。 - **容斥原理公式**: 对于 $n$ 个矩形的集合,并集面积 $S$ 可表示为: $$S = \sum_{i} A_i - \sum_{i<j} A_{i \cap j} + \sum_{i<j<k} A_{i \cap j \cap k} - \cdots + (-1)^{k+1} A_{S_{\text{all}}}$$ 其中: - $A_i$ 表示单个矩形 $i$ 的面积。 - $A_{i \cap j}$ 表示矩形 $i$ 和 $j$ 的交集面积。 - $k$ 为子集大小,符号 $(-1)^{k+1}$ 表示:奇数大小子集加面积,偶数大小子集减面积。 - 如果子集的交集为空,则面积为 $0$,无需计算。 #### 算法步骤详解 1. **计算单个矩形面积**: 对于矩形 $i$,面积 $A_i = (x_2 - x_1) \times (y_2 - y_1)$,其中 $(x_1, y_1)$ 和 $(x_2, y_2)$ 为坐标。 2. **计算子集交集矩形**: 对于每个非空子集(子集大小从 $1$ 到 $n$),计算该子集中所有矩形的交集矩形: - 交集矩形的左下角:$(\max(x_1), \max(y_1))$。 - 交集矩形的右上角:$(\min(x_2), \min(y_2))$。 - 检查交集是否有效:如果 $\max(x_1) < \min(x_2)$ 且 $\max(y_1) < \min(y_2)$,则交集存在,面积 $A_{\text{intersect}} = (\min(x_2) - \max(x_1)) \times (\min(y_2) - \max(y_1))$;否则,面积为 $0$。 3. **应用容斥原理求和**: - 遍历所有非空子集(子集总数 $2^n - 1$ 个)。 - 对每个子集,根据其大小 $k$: - 如果 $k$ 为奇数($k \mod 2 = 1$),则加该子集的交集面积。 - 如果 $k$ 为偶数($k \mod 2 = 0$),则减该子集的交集面积。 - 最终和即为并集面积 $S$。 4. **处理多查询**: 由于输入可能有多个测试用例,对每个用例重复上述步骤。 #### 伪代码实现 以下是用 Python 风格的伪代码展示算法框架(实际实现时需处理输入输出): ```python def calculate_union_area(rectangles): n = len(rectangles) total_area = 0 # 遍历所有非空子集 (子集掩码从 1 到 2^n - 1) for bitmask in range(1, 1 << n): # 初始化交集矩形的边界 x1_intersect = float('-inf') y1_intersect = float('-inf') x2_intersect = float('inf') y2_intersect = float('inf') count = 0 # 子集大小 k # 检查当前子集包含的矩形 for i in range(n): if bitmask & (1 << i): # 矩形 i 在子集中 count += 1 x1, y1, x2, y2 = rectangles[i] x1_intersect = max(x1_intersect, x1) y1_intersect = max(y1_intersect, y1) x2_intersect = min(x2_intersect, x2) y2_intersect = min(y2_intersect, y2) # 检查交集是否有效 if x1_intersect < x2_intersect and y1_intersect < y2_intersect: area_intersect = (x2_intersect - x1_intersect) * (y2_intersect - y1_intersect) else: area_intersect = 0 # 根据子集大小添加或减去面积 if count % 2 == 1: total_area += area_intersect else: total_area -= area_intersect return total_area # 主程序处理多查询 while True: n = int(input().strip()) if n == 0: break rectangles = [] for _ in range(n): x1, y1, x2, y2 = map(int, input().split()) rectangles.append((x1, y1, x2, y2)) area = calculate_union_area(rectangles) print(area) ``` #### 复杂度分析 - **时间复杂度**:$O(2^n \times n)$,其中 $n$ 是矩形数量。因为需遍历 $2^n$ 个子集,每个子集处理 $n$ 个矩形。当 $n \leq 20$ 时,$2^{20} \approx 10^6$,可接受。 - **空间复杂度**:$O(n)$,仅需存储矩形坐标。 - **优势与局限**:容斥原理实现简单,适合小 $n$;但如果 $n$ 较大(如 $n > 20$),应改用扫描线算法(时间复杂度 $O(n \log n)$),如引用[4]中的POJ1151解法[^4]。 #### 相关拓展 - **为什么容斥原理有效**:它通过加减交集来消除重叠区域的重复计算,本质是集合论的公式在几何中的应用。 - **边界处理**:坐标可能为整数或浮点数,需确保比较时处理精度问题(POJ 3695 中坐标通常为整数)。 - **与其他问题比较**:在POJ1151 Atlantis(引用[4])中,矩形数量大,使用扫描线算法更高效[^4]。但对于POJ 3695,容斥原理是首选[^1]。
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