KMP算法及其实现

KMP算法是一种常用的在字符串中寻找子串的算法，相比于最普通的一一比较的暴力法（BF法），KMP法在时间效率上明显更优。为了更好地分析KMP，首先简要介绍BF法。

BF法

假设要在长度为m的字符串text中查找长度为n的子串pattern（假设n小于m，否则显然是不可能找到的）。那么最传统的方法即是在text中开一个长度为n的“窗口”，如果这一窗口中字符串与pattern完全符合，则表示找到了子串所在的位置，此时窗口中第一个字符在text中的位置即是找到的子串位置。

说人话……BR法简单而言是这样：在text中找出以第0个字符为开始、长度为n的子串（也就是所谓的窗口），将这个子串与pattern逐字符地比较，若完全一致则为找到。如果不吻合，则在text中找出以第1个字符为开始、长度为n的子串，将这个子串与pattern逐字符地比较；在text中找出以第2个字符为开始、长度为n的子串，将这个子串与pattern逐字符地比较……以此类推，直到找到或者到达text末尾为止。

BF法每一次比较都要逐字符地比较text中抽出的子串和pattern，且每次比较失败（不吻合）时只把“窗口”向后移动一位，使得查找效率较低。

KMP法

上面提到了，BF法每次比较失败时都把窗口只向后移动一位，这导致了低效率。那么如果每次比较失败时把窗口多向后移动几位，那么效率自然就高了不少。那么移动几位呢？

假设用k表示每次比较失败时窗口向后移动的位数，则k=（pattern中第一个不吻合的字符的脚标i）-（next【i】）。算法的关键在于这个next！

简单想想可能会觉得如果在第t位比较失败了，则直接跳过前面的字符，把窗口向后移t位不就好了？考虑如下的情形：假设text为“abdabdabc……”，pattern为“abdabc”，开始时比较text[0]与pattern[0]，吻合，再比较text[1]与pattern[1]，吻合……一直到text[5]与pattern[5]，不再吻合。按照我们在刚刚最简单的假设，是不是应该把窗口直接向后移动5位，将text从text[5]开始的子串与pattern继续比较？显然不对，我们明显发现text[4]开始的abdabc是符合pattern的，分明已经找到了才对！所以，我们需要前式中的next【i】。

回到我们的例子来讲解next究竟是什么，我们选择的pattern是“abdabc”，那么假设在pattern[4]处比对失败，那么因为pattern[4]前一个字符是“a”，而pattern的开头字符也是“a”，因此比起前一段所述的简单向后跳4位，还需要向前回退1位，因为从text中与pattern[3]对应的那个“a”，就有可能是符合pattern的那个窗口的开头字符。或者，假设我们之前一直比较成功，但到了pattern[5]处比对失败，那么因为pattern[5]前面的两个字符是“ab”而pattern开头的两个字符也是“ab”，因此此时的next应该是2，即需要先将窗口向后移5位，然后回退2位。

现在我们可以归纳出next【i】怎么计算了。Next【i】等于可以使pattern[0: i-1]这个子串中长度为n的前缀与长度为n的后缀相等的最大的n值。特例是next【0】，next【0】应为-1，因为k=（pattern中第一个不吻合的字符的脚标i）-（next【i】），此时（pattern中第一个不吻合的字符的脚标i）为0，为了让窗口仍然可以后移，需要将next【0】设为-1。

在本例中，pattern为“abdabc”，那么next为{-1, 0, 0, 0, 1, 2}。

下面就可以总结性地给出KMP算法的描述了：开始时，将text中从0开始、长度为n的窗口，与pattern比较，如若比较失败，把窗口向后移动k位，k=（pattern中第一个不吻合的字符的脚标i）-（next【i】），在之后每次的比较中可以跳过前next【i】的字符位比较（因为显然是一样的）……不断执行前述步骤，直到找到pattern或者到达text的末尾为止。

以下为我的C++实现：

#include<iostream>
#include<string>

using namespace std;

int* getNext(string instr) {
    int length = instr.length();
    int* next;
    next = new int[length];
    next[0] = -1;
    for(int i = 1; i < length; i++) {
        int max = 0;
        for(int j = 1; j < i-1; j++) {
            if(instr.compare(0, j, instr, i-j, j) == 0) {
                max = j;
            }
        }
        next[i] = max;
    }
    return next;
}

int KMP(string text, string pattern) {
    if(pattern.length() > text.length()) {
        return -1;
    }
    int* next;
    int ne = 0;
    next = getNext(pattern);
    for(int i = 0; i <= text.length() - pattern.length(); /*注意这里没有++*/) {
        int j;
        for(j = ne; j < pattern.length(); j++) {
            if(text[i+j] != pattern[j]) {
                break;
            }
        }
        if(j == pattern.length()) {
            return i;
        }
        i = i + j - next[j];
        if(next[j] == -1) {
            ne = 0;        
        } else {
            ne = next[j];
        }
    }
    return -1;
}

int main() {
    int result;
    string string1("ab abd ababcabcd"), string2("abcabcd");
    result = KMP(string1, string2);
    cout << result << endl;
    return 0;
}