螺旋矩阵问题

很久以前参加一个公司的面笔试,其中有一道题是输出螺旋矩阵,当时毫无头绪,没有做出来,于是就搁置了。几天碰巧又遇到了,于是想了一会儿,发现只要找到规律,该问题相当简单,控制好转向条件即可。

说一下思路:假如从1-n正整数作为数据元素,顺时针从左上角开始,设定一个字段orien,标识填充要推进的方向,然后设定四个方向的边界值,第一行为上边界,最后一行为下边界,最左边列作为左边界值,最右边列作为右边界值,然后分为四个条件考虑:

A. 当前向右:判断当前横坐标,如果等于右边界值,则改变方向向下,上边界值+1,否则继续向右推进;

B. 当前向下:判断当前纵坐标,如果等于下边界值,则改变方向向左,右边界值-1,否则继续向下推进;

C. 当前向左:判断当前横坐标,如果等于左边界值,则改变方向向上,下边界值-1,否则继续向左推进;

D. 当前向上:判断当前纵坐标,如果等于上边界值,则改变方向向右,左边界值+1,否则继续向上推进;

void RotationMatrix(int r,int c)
{
	//r代表行数,c代表列数
	char orien='R';  //L-left 向左,R-right 向右,U-up 向上,D-down 向下
	int currentrow=0; //当前行
	int currentcol=0; //当前列
	int bound_left=0;//左边界
	int bound_right=c-1;//右边界
	int bound_top=0;//上边界
	int bound_bottom=r-1;//下边界
	int index=1;
	int arr[Maxsize][Maxsize];
	for(;index<=r*c;index++)
	{
		arr[currentrow][currentcol]=index;
		if(orien=='R')
		{
			//向右推进
			
			if(currentcol==bound_right)
			{
				bound_top++;
				orien='D';
				currentrow++;
			}
			else
				currentcol++;
		}
		else if(orien=='D')
		{
			//向下推进
			
			if(currentrow==bound_bottom)
			{
				bound_right--;
				orien='L';
				currentcol--;
			}
			else
				currentrow++;
		}
		else if(orien=='L')
		{
			//向左推进
			if(currentcol==bound_left)
			{
				bound_bottom--;
				orien='U';
				currentrow--;
			}
			else
				currentcol--;
		}
		else
		{
			//向上推进
			if(currentrow==bound_top)
			{
				bound_left++;
				orien='R';
				currentcol++;
			}
			else
				currentrow--;
		}
	}
	printf("螺旋矩阵如下:\n");
	for(int i=0;i<r;i++)
	{
		for(int j=0;j<c;j++)
		{
			printf("%03d ",arr[i][j]);
		}
		printf("\n");
	}
}
样例:

输入10行*10列



<think>好的,我现在需要解决如何生成一个n阶螺旋矩阵问题。用户希望得到具体的算法和代码实现,可能还需要示例。首先,我得回忆一下螺旋矩阵的结构。螺旋矩阵通常是从左上角开始,按照顺时针方向填充数字,直到填满整个矩阵。比如3阶的矩阵,数字从1开始,依次填充第一行,然后右边缘向下,接着底行从右到左,再左边缘向上,之后进入内层循环。 我需要确定填充的层数。对于一个n阶矩阵,层数应该是ceil(n/2)。比如n=3,层数是2;n=4,层数是2。每一层需要处理上、右、下、左四个边。不过要注意当n为奇数时,最内层可能只有一个元素,不需要循环四个边。 接下来考虑如何遍历每一层。对于每一层,可以定义四个变量:起始行start_row,结束行end_row,起始列start_col,结束列end_col。每完成一层,这些变量的值向内收缩,比如start_row和start_col加1,end_row和end_col减1。 填充的时候,分四个方向: 1. 从左到右填充上边。 2. 从上到下填充右边。 3. 如果当前层不是单行的话,从右到左填充下边。 4. 如果当前层不是单列的话,从下到上填充左边。 需要处理特殊情况,比如当n为奇数时,最中间的位置需要单独赋值。另外,当某一层的高度或宽度为1时,某些边不需要重复填充,比如当只有一行时,填充完上边后,右边和下边可能已经填完,需要避免重复。 接下来考虑如何编写代码。可以使用一个二维数组来存储矩阵,初始化所有元素为0。然后逐个填充数字,从1开始,每次填充后数字递增。 具体步骤: 1. 初始化n x n的矩阵,所有元素为0。 2. 定义当前填充的数字num=1。 3. 对于每一层layer,从0到(n//2): a. 定义当前层的起始行和结束行,比如layer到n-1-layer。 b. 同样处理列。 c. 填充上边:从左到右,行固定为layer。 d. 填充右边:列固定为n-1-layer,行从layer+1到n-1-layer。 e. 填充下边:如果当前层不是最后一行,则从右到左填充底行。 f. 填充左边:如果当前层不是最后一列,则从下到上填充左列。 4. 当n为奇数时,最中间的位置需要单独填充。 例如,对于3阶矩阵: 层0:start=0,end=2。 上边:行0,列0-2,填1-3。 右边:列2,行1-2,填4-5。 下边:行2,列1-0,填6-7。 左边:列0,行1,填8。 然后进入层1,此时start=1,end=1,但此时n为奇数,所以中间元素已经填了吗?或者可能在循环结束后单独处理? 可能我的步骤中有错误,比如当处理层时,如果n为奇数,最后一层是否需要单独处理?比如当n=3,层数是2层,但实际可能只有两层循环,第二层可能无法处理中间的9。或者可能在循环中处理。这需要仔细检查。 另外,代码实现时需要注意边界条件,比如当n=1时,直接填充1即可。或者在循环中处理。 编写示例代码时,可以使用Python,因为用户之前的示例代码也是Python。初始化矩阵,然后循环层数,填充四个边。例如: def generate_spiral_matrix(n): matrix = [[0]*n for _ in range(n)] num = 1 for layer in range((n+1)//2): start = layer end = n - 1 - layer # 上边:左到右 for col in range(start, end+1): matrix[start][col] = num num +=1 # 右边:上到下(排除第一个) for row in range(start+1, end+1): matrix[row][end] = num num +=1 # 下边:右到左(排除最后一个) if start != end: # 防止单行情况 for col in range(end-1, start-1, -1): matrix[end][col] = num num +=1 # 左边:下到上(排除第一个) if start != end: # 防止单列情况 for row in range(end-1, start, -1): matrix[row][start] = num num +=1 return matrix 测试这个函数是否正确。例如n=3时,生成的结果是否正确?比如: 1 2 3 8 9 4 7 6 5 但根据代码,当layer=0时,start=0,end=2。填充上边:0行0-2填入1-3。右边:行1-2,列2,填入4和5。此时下边的循环中,start != end(0!=2),所以填充行2的列1到0,即填入6和7,此时num是6和7。然后左边循环,start != end,所以行1,列0,填入8。此时num变为8。然后进入layer=1,此时start=1,end=1(因为n=3,n-1-layer=1)。此时上边的循环是col从1到1,即填入8到matrix[1][1],此时num是8?但原来的矩阵中间应该是9。这说明代码有问题,可能在处理奇数阶时中间元素没有被正确填充。 问题出在当n是奇数时,最后一层循环会覆盖中间元素。例如在n=3的情况下,layer=0处理完后,num到了8,此时进入layer=1,start=1,end=1。这时填充上边:col从1到1,即matrix[1][1] = 8,然后右边是row从2到1(start+1=2,end+1=2?这里可能有问题。因为此时start=1,end=1,所以右边的循环是row从start+1=2到end+1=2?即循环范围是range(2, 2),所以不执行。同样,下边和左边也不会执行。此时中间位置被赋值为8,但正确的应该是9。这说明代码在处理奇数层时有错误,导致中间元素未被正确填充。 问题在于,在layer循环中,当n为奇数时,中间的层会被处理两次吗?或者可能在处理到最后一个layer时,覆盖了之前的数值? 例如,当n=3,总共有两层循环,因为(n+1)//2=2。所以layer从0到1。在layer=0时处理外层,num到了8。layer=1时,处理start=1,end=1。此时上边的循环将matrix[1][1]设置为num=8,然后右边、下边、左边都不处理。所以最终中间的位置是8,但正确的应该是9。这说明代码逻辑错误。 错误的原因在于,当n为奇数时,中间的层应该只处理一次,但根据循环次数,可能处理两次。比如(n+1)//2的计算是否正确?比如n=3,(3+1)//2=2,所以循环两次。但实际上中间的层只需要处理一次。应该改为n//2层循环,然后单独处理中间元素? 或者应该调整循环次数。例如,正确的层数应该是ceil(n/2) = (n+1)//2。例如n=3,层数是2层,但第二层只处理中间的元素。然而在之前的代码中,第二层的处理可能会覆盖中间元素,但此时num的值可能还未达到正确值。 可能更好的方法是,循环处理到n//2层,然后对于奇数n,单独处理中间的元素。例如,将循环次数改为layer in range(n//2),然后判断如果n是奇数,再处理中间的位置。 修改后的代码: def generate_spiral_matrix(n): matrix = [[0]*n for _ in range(n)] num = 1 for layer in range(n//2): start = layer end = n - 1 - layer # 上边:左到右 for col in range(start, end+1): matrix[start][col] = num num +=1 # 右边:上到下(排除第一个) for row in range(start+1, end+1): matrix[row][end] = num num +=1 # 下边:右到左(排除最后一个) for col in range(end-1, start-1, -1): matrix[end][col] = num num +=1 # 左边:下到上(排除第一个) for row in range(end-1, start, -1): matrix[row][start] = num num +=1 # 处理奇数阶的中间元素 if n % 2 == 1: mid = n//2 matrix[mid][mid] = num return matrix 这样,对于n=3,循环处理layer=0,然后处理中间的mid=1的位置,赋值为num=9。因为在处理完layer=0后,num的值是: 上边填1-3 → num=4。 右边填4-5 → num=6。 下边填6-7 → num=8。 左边填8 → num=9。 然后循环结束,进入if判断,n是奇数,所以中间位置赋值为9。这得到正确的矩阵: 1 2 3 8 9 4 7 6 5 测试n=4的情况: layer=0和layer=1。 layer=0时: start=0,end=3。 上边填1-4 → num=5。 右边填5-7(行1到3,列3) → num=8。 下边填8-10(列2到0) → num=11。 左边填11-13(行3到1,列0) → num=14. layer=1时: start=1,end=2。 上边填14-15 → num=16。 右边填16(行2,列2) → num=17。 下边填17(列1,行2) → num=18。 左边填18(行1,列1) → num=19. 但是矩阵的中间在n=4时是偶数,所以不需要处理。生成的矩阵应为: 1 2 3 4 12 13 14 5 11 16 15 6 10 9 8 7 可能我的代码有问题,因为在处理layer=1时,start=1,end=2。上边是行1,列1到2,填14和15。右边是列2,行2到2,填16。下边是行2,列1到1,填17。左边是行1到1?可能这里需要再仔细分析。 或者可能我的代码在n=4的情况下是否正确? 比如,正确的4阶螺旋矩阵是: 1 2 3 4 12 13 14 5 11 16 15 6 10 9 8 7 根据修改后的代码,处理layer=0时: 上边填行0,列0-3 → 1-4 → num=5. 右边填行1-3,列3 → 5-7 → num=8. 下边填行3,列2-0 → 8-10 → num=11. 左边填行2-1,列0 → 11-12 → num=13. 然后layer=0处理完毕,进入layer=1: start=1,end=2. 上边填行1,列1-2 → 13、14 → num=15. 右边填行2,列2 → 15 → num=16. 下边填行2,列1-0 → 16、17 → num=18. 左边填行1,列1 → 18 → num=19. 此时循环结束,因为n//2=2,循环次数是0和1两次? 不,n=4时,n//2=2,所以循环layer从0到1。layer=0和layer=1各处理一次。 但此时生成的矩阵可能存在问题,例如行1列1是否被正确填充? 可能代码中的循环在layer=1时: 上边:行1,列1-2 → 13和14。所以matrix[1][1]=13,matrix[1][2]=14. 右边:行从start+1=2到end+1=2+1?不,原代码中右边的循环是range(start+1, end+1),start+1是2,end是2,所以右边循环是range(2,3),即行2,列2填入15,num变为16. 下边:行end=2,列从end-1=1到start-1=0,即列1和0,填入16和17 → num=18. 左边:行从end-1=1到start=1,循环range(1,1,-1),即不执行。所以左边没有填充。此时,行1,列1的值是13,右边的行2列2是15,下边的行2列1是16,列0是17?此时可能代码导致错误,因为正确的矩阵中行1列1应该为13,而后续填充可能覆盖了某些位置。 或者,可能在处理layer=1时,各边的填充顺序是否正确? 可能我的代码在n=4的情况下生成的结果是否正确需要测试。或者我是否应该调整循环的条件? 例如,在layer=1时,处理上边,右边,下边,左边: 上边:行1,列1到2 →填入13和14. 右边:行2到2,列2 →填入15. 下边:行2,列1到0 →填入16和17. 左边:行1到1(因为range(end-1, start, -1) → end-1=1,start=1 → range(1,1,-1)不执行)。 所以,此时左边的循环不会执行,所以行1列1的值是13,没有被覆盖。而正确的矩阵中行1列1应该是13,行2列1是16,行3列0是10? 可能我的代码在n=4时生成的矩阵是否正确? 例如,生成的矩阵: Row 0: 1 2 3 4 Row1: 12 13 14 5 Row2: 11 16 15 6 Row3: 10 9 8 7 这与正确的螺旋矩阵是否一致? 是的,这应该是正确的。因此代码可能正确。 总结,修改后的代码在处理奇数阶时单独填充中间元素,而偶数阶时不需要。这样应该可以正确生成螺旋矩阵。</think>### 螺旋矩阵生成方法 生成n阶螺旋矩阵的核心思想是分层填充,每层按顺时针方向处理上、右、下、左四条边。具体步骤如下: 1. **初始化矩阵**:创建n×n的二维数组并预填充0。 2. **分层循环**:共需填充$\lfloor n/2 \rfloor$层,每层由外向内收缩。 3. **逐边填充**: - **上边**:从左到右填充当前层的最上方行。 - **右边**:从上到下填充当前层的最右侧列(排除第一个元素)。 - **下边**:从右到左填充当前层的最下方行(若存在多行)。 - **左边**:从下到上填充当前层的最左侧列(若存在多列)。 4. **处理奇数阶**:若n为奇数,单独填充中心元素。 $$ \text{螺旋矩阵填充方向示意图} \\ \Rightarrow \text{右} \quad \downarrow \text{下} \quad \Leftarrow \text{左} \quad \uparrow \text{上} $$ ### 代码实现(Python) ```python def generate_spiral_matrix(n): matrix = [[0] * n for _ in range(n)] num = 1 for layer in range(n // 2): start = layer end = n - 1 - layer # 上边:左→右 for col in range(start, end + 1): matrix[start][col] = num num += 1 # 右边:上→下(排除首元素) for row in range(start + 1, end + 1): matrix[row][end] = num num += 1 # 下边:右→左(排除末元素) for col in range(end - 1, start - 1, -1): matrix[end][col] = num num += 1 # 左边:下→上(排除首元素) for row in range(end - 1, start, -1): matrix[row][start] = num num += 1 # 处理奇数阶中心 if n % 2 == 1: mid = n // 2 matrix[mid][mid] = num return matrix ``` ### 示例输出(n=3) $$ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 8 & 9 & 4 \\ 7 & 6 & 5 \\ \end{bmatrix} $$ ### 算法分析 - **时间复杂度**:$O(n^2)$,需填充n²个元素。 - **空间复杂度**:$O(n^2)$,存储矩阵本身。 该方法通过逐层收缩边界精确控制填充范围,避免了复杂的坐标计算[^4]。
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