15、线性回归分析：原理、方法与应用

线性回归分析：原理、方法与应用

1. 简单线性回归概述

线性统计建模始于线性假设。在最简单的情况下，会涉及两个变量，即独立变量（如代码行数 LOC）和因变量（如软件故障数）。我们假设故障数（用变量 y 表示）和代码行数（用变量 x 表示）之间存在线性关系，模型可表示为直线方程：y = ax + b。

建模是一种实验形式，具体步骤如下：
1. 提出假设：先提出线性关系的假设。
2. 控制变量：识别并控制可能干扰实验的外部变量。
3. 选择模型：确定具体的线性模型，如 y = ax + b。
4. 收集数据：测量系统，获取变量的数值对 (xi, yi)。
5. 拟合模型：尝试将模型与数据进行拟合。

需要注意的是，用于实验的数据是一次性的，不能在其他实验或模型中重复使用。同时，线性建模应遵循科学探究的过程，而不是强行让数据符合模型。若模型与实际数据存在差异，这些差异能为我们指出问题所在。当模型无法拟合数据时，应分析结果，提出新假设、构建新模型并开展新实验。

2. 数据检查

在建模过程中，应运用常识理解数据。为简化讨论，我们使用一个因变量和一个自变量，这种方法被称为“倾听数据”。数据蕴含着关于研究问题本质的信息，我们要关注数据传达的信息，而不是用数据来证实先入为主的假设。

2.1 示例一：Mnamana 指标与软件故障数据

我们收集了软件系统 24 个程序模块的 Mnamana 指标和故障数据。从数据中看，这两个变量之间似乎没有明显关系，相关系数极低（-0.004）。若尝试寻找线性关系，会发现有大量直线都不能很好地代表这些数据。但通过计算数据的质心，并