11、双扩展卡尔曼滤波方法在时间序列估计中的应用

双扩展卡尔曼滤波方法在时间序列估计中的应用

1. 双扩展卡尔曼滤波（Dual EKF）时间序列估计

双扩展卡尔曼滤波算法可同时估计干净的时间序列和神经网络权重。该算法按顺序处理 20,000 个数据点，为清晰展示，仅显示最后 150 个点。为作对比，还展示了使用已知神经网络模型的扩展卡尔曼滤波（EKF）的估计结果。

在序列的最后 1000 个点上计算均方误差（MSE），双 EKF 的 MSE 为 0.2171，而 EKF 的 MSE 为 0.2153。这表明双 EKF 算法成功学习到了模型和状态估计。令人惊讶的是，双 EKF 有时甚至比 EKF 表现更好，原因在于 EKF 即便使用已知模型，仍是一种近似估计算法，而双 EKF 学习的近似模型可能更匹配状态估计的近似。

当使用递归导数的静态近似时，图 5.3c 展示了估计结果。在此示例中，静态导数带来了轻微优势，MSE 为 0.2122，但差异在统计上并不显著。图 5.3d 评估了算法的收敛行为，通过在时间序列的 500 点段上以 50 点间隔计算 MSE 生成 MSE 曲线（虚线），与之对比的实线是使用真实神经网络模型的 EKF 信号估计算法的 MSE 曲线。双 EKF 似乎在约 2000 个点后收敛到最优解。

2. 概率视角下的双估计

从概率角度出发，可建立双估计的统一框架。这会引出一系列可用于估计过程的成本函数，不同的优化方法可基于底层成本函数建立联系，同时可使用基于卡尔曼的优化程序为最小化每个成本函数提供通用算法框架。

2.1 MAP 估计

双估计可视为最大后验（MAP）解。给定含噪数据 ${y_k} {1}^{N}$ 时，状态