2、参数化卡尔曼滤波器训练：理论与实现

参数化卡尔曼滤波器训练：理论与实现

1. 卡尔曼滤波器基础

1.1 后验协方差矩阵初始值

后验协方差矩阵的初始值定义为：
$P_0 = E[(x_0 - E[x_0])(x_0 - E[x_0])^T]$
这种初始条件的选择不仅直观上令人满意，而且具有对状态$x_k$产生无偏估计的优点。

1.2 卡尔曼滤波器总结

卡尔曼滤波器适用于线性动态系统，其状态空间模型由以下两个方程组成：
- 过程方程：$x_{k + 1} = F_{k + 1,k}x_k + w_k$
- 测量方程：$y_k = H_kx_k + v_k$

其中，$w_k$和$v_k$是独立的零均值高斯噪声过程，协方差矩阵分别为$Q_k$和$R_k$。

卡尔曼滤波器的计算步骤如下表所示：
|步骤|公式|
| ---- | ---- |
|初始化|$\hat{x} 0 = E[x_0]$，$P_0 = E[(x_0 - E[x_0])(x_0 - E[x_0])^T]$|
|状态估计传播|$\hat{x}^- {k} = F_{k,k - 1}\hat{x}^- {k - 1}$|
|误差协方差传播|$P^- {k} = F_{k,k - 1}P_{k - 1}F^T_{k,k - 1} + Q_{k - 1}$|
|卡尔曼增益矩阵|$G_k = P^- {k}H^T_k(H_kP^- {k}H^T_k + R_k)^{-1}$|
|状态估计更新|$\hat{x} k =