最小生成树 - N - 畅通工程再续

N - 畅通工程再续


 相信大家都听说一个“百岛湖”的地方吧,百岛湖的居民生活在不同的小岛中,当他们想去其他的小岛时都要通过划小船来实现。现在政府决定大力发展百岛湖,发展首先要解决的问题当然是交通问题,政府决定实现百岛湖的全畅通!经过考察小组RPRush对百岛湖的情况充分了解后,决定在符合条件的小岛间建上桥,所谓符合条件,就是2个小岛之间的距离不能小于10米,也不能大于1000米。当然,为了节省资金,只要求实现任意2个小岛之间有路通即可。其中桥的价格为 100元/米。
Input
输入包括多组数据。输入首先包括一个整数T(T <= 200),代表有T组数据。
每组数据首先是一个整数C(C <= 100),代表小岛的个数,接下来是C组坐标,代表每个小岛的坐标,这些坐标都是 0 <= x, y <= 1000的整数。
Output
每组输入数据输出一行,代表建桥的最小花费,结果保留一位小数。如果无法实现工程以达到全部畅通,输出”oh!”.
Sample Input
2
2
10 10
20 20
3
1 1
2 2
1000 1000
Sample Output
1414.2
oh!


题意:给定小岛的坐标,建桥实现任意两个小岛之间有路通即可。

题解:简单的最小生成树,在边权值的判断中加入如果小于10或者大于1000都不能通过即可,最后看求出来的最小权值和是否小于inf。

AC代码:

#include<iostream>
#include<stdio.h>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;
int n,t,m;
double sum;
const int maxn = 107;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
double a[maxn][maxn];
double b[maxn];
double x[maxn],y[maxn];
double length[maxn];
int vis[maxn];
int path[maxn];
void prim()
{
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        vis[i]=0;
        length[i]=a[1][i];
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        double u=inf;
        int v;
        for(int j=1;j<=n;j++)
        {
            if(vis[j]==0&&length[j]<u)
            {
                u=length[j];
                v=j;
            }
        }
        vis[v]=1;
        sum+=length[v];
        for(int j=1;j<=n;j++)
        {
            if(vis[j]==0&&length[j]>a[v][j])
            {
                length[j]=a[v][j];
            }
        }
    }
}
double leng(double x1,double y1,double x2,double y2)
{
    double k=sqrt((x1-x2)*(x1-x2)+(y1-y2)*(y1-y2));
    return k;
}
int main()
{
    int t;
    cin>>t;
    while(t--)
    {
        cin>>n;
        sum=0;
        for(int i=1;i<=n;i++)cin>>x[i]>>y[i];
        for(int i=1;i<=n;i++)
            for(int j=i;j<=n;j++)
           {
               double k=leng(x[i],y[i],x[j],y[j]);
               if(j==i)a[i][j]=0;
               else if(k<10||k>1000)a[i][j]=a[j][i]=1e9;
               else a[i][j]=a[j][i]=k;
           }
        prim();
        if(sum<1e9)printf("%.1f\n",sum*100);
        else cout<<"oh!"<<endl;
    }
    return 0;
}

### 解决村村通问题的最小生成树算法应用 #### 背景描述 某省调查乡村交通状况,得到的统计表中列出了任意两村庄间的距离。为了实现“畅通工程”,即确保省内任何两个村庄之间可以通过公路连接,并且使得铺设的公路总长度最短,可以采用最小生成树算法来规划最优的道路建设方案[^3]。 #### Prim算法的应用 对于给定的一组村庄及其之间的路径成本,在构建最小生成树的过程中,Prim算法从任选的一个起点出发逐步扩展到其他节点直到覆盖所有的村庄为止。每次迭代过程中都会挑选当前已加入集合内的点所能到达但尚未被访问过的最近邻居作为下一个要添加的新成员;如此这般循环往复直至所有顶点都被囊括进来形成一颗完整的树形结构。这种方法特别适用于稠密图的情况。 ```python import sys def prim_algorithm(graph, start_vertex): n = len(graph) key_values = {v: float('inf') for v in range(n)} parent = [-1]*n mst_set = [False]*n key_values[start_vertex], parent[start_vertex] = 0, None for _ in range(n-1): u = min_key(key_values, mst_set) mst_set[u] = True for v in range(n): if graph[u][v]>0 and not mst_set[v]: if graph[u][v]<key_values[v]: key_values[v]=graph[u][v] parent[v]=u result_edges = [] for i in range(1,n): result_edges.append((parent[i],i)) return result_edges def min_key(keys,mstSet): minimum = sys.maxsize min_index=-1 for vertex in range(len(mstSet)): if keys[vertex]<minimum and not mstSet[vertex]: minimum=keys[vertex] min_index=vertex return min_index ``` #### Kruskal算法的应用 而当面对的是较为稀疏的地图分布时,则更推荐使用Kruskal算法来进行处理。此方法并不拘泥于特定起始位置的选择而是直接着眼于全局视角下的每一对可能构成边的关系之中寻找权重最低者先行纳入考虑范围之内再依照其关联端点是否已经存在于同一棵树下来决定最终能否正式成为新添入的部分之一。随着不断重复这一过程直至所剩未连结部分无法继续组合成新的有效分支则整个运算结束从而获得一张由原始输入派生出来的具有最少累积耗费特性的森林形态——也就是所谓的最小生成树了[^5]。 ```python class DisjointSets(object): def __init__(self,size): self.parent=[None]*size self.rank =[0]*size def make_set(self,x): self.parent[x]=x self.rank[x]=0 def find(self,x): if self.parent[x]!=x: self.parent[x]=self.find(self.parent[x]) return self.parent[x] def union(self,x,y): root_x=self.find(x) root_y=self.find(y) if root_x !=root_y: if self.rank[root_x]>self.rank[root_y]: self.parent[root_y]=root_x elif self.rank[root_x]<self.rank[root_y]: self.parent[root_x]=root_y else : self.parent[root_y]=root_x self.rank[root_x]+=1 def kruskal_algorithm(edges,v_num): edges.sort() ds=DisjointSets(v_num) res_edge=[] for edge in edges: weight,u,v=edge if ds.find(u)!=ds.find(v): res_edge.append(edge) ds.union(u,v) return res_edge ```
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